概率学习笔记—— 随机变量
概率学习笔记—— 随机变量
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我们开始正题：
给定概率空间. 设 为实直线. 为扩充实直线. 为上的Borel域，为扩充Borel域.
定义：一个扩充实随机变量定义为一个函数, 其定义域为, 值域包含在使得对每一个, 我们有
其中 实 在上的迹.
这个定义的一般性在很多方面因为逻辑的原因是必须的，但是为了简便，我们假定, 实值，且以概率1为有限值. 如无特别说明，以后我们对随机变量都做如此假定.
考虑从 到的逆映射, 定义为
结合的定义可以看出，把 中的元素映射成了中的元素:
或者简记为
这样的函数称为可测的(关于).因此，一个随机变量是一个从到 的可测函数.
定理：对于任何从 到 的函数, 未必是随机变量， 逆映射有如下性质：
其中 是任意指标集，不必是可数集合.
定理：是随机变量当且仅当对每一个实数,我们有
证明：首先，定理中的条件可以写为
我们把所有中的满足 的子集的集类记为 . 由上一定理，以及Borel域的性质， 如果, 则
如果 , 则
因此， , . 从而 是一个Borel域,从而包含所有形如的区间, 这生成了. 因此 , 这意味着，对任意的 . 因此是一个随机变量. 另一方向是显然成立的.
因为 定义在 上，随机变量定义中集合的概率可以记为
定理：概率空间上的每一个随机变量通过如下方式诱导了一个概率空间:
证明：显然，我们有. 如果 是互不相交的，则 也是互不相交的，因此
最后 , 因此 从而是一个概率测度.
对任意的函数, 所有集合 是一个Borel域. 如果是一个随机变量，那么 称为由生成的Borel域. 这是包含形如 集合的最小的的 Borel 子域, 其中 .因此，我们可以把上一定理中的 记为
这里， 称为的概率分布测度， 它的分布函数称为 的分布函数. 特别地，如果 为
这里， 随机变量决定了,从而决定了. 反之显然不对, 一族随机变量如果有相同的分布，我们称为同分布.
例：
这种情况下，随机变量定义为一个Borel可测函数. 根据通常的定义， 在上是Borel可测当且仅当.特别地， 是一个随机变量. 随机变量和不相等但是同分布；事实上，它们共同的分布是测度.
例.
下面定理表明了如何从给定随机变量出发，构建新的随机变量.
定理：如果是一个随机变量， 是上的一个Borel函数，则 也是随机变量.
我们考虑函数的复合
则我们有
从而
接下来，我们讨论一点随机向量. 即向量的每一个分量是随机变量. 只需要考虑二维情况就足够了，因为高维情形没有本质区别.
设 和 是 中的随机变量，则随机向量诱导了 上的一个概率:
上式右边也可写成 . 称为2维概率分布.
类似于 , 我们也可以定义
定理：如果和是随机变量，是二元Borel可测函数，则 是一个随机变量.
证明：
下面，我们介绍一些上述定理的特殊情况，首先我们约定一些记号：
推论：如果是一随机变量， 是上的连续函数， 则 是一个随机变量；特别地，对于 (为正整数)， ()， 都是随机变量. 如果和都是随机变量， 则
都是随机变量.
定理：如果 是一列随机变量，那么
都是随机变量, 但不必以概率1为有限值即使处处有定义.
在集合上或者收敛，或者发散到, 也是随机变量.
证明：对于 , 我们观察到
因为
在使得成立的集合上存在且有限，
定义：一个随机变量称为 离散的(或者可数值)当且仅当存在可数集合使得 .
定义：对任意的, 函数
称之为 的指示函数.
显然是一个随机变量当且仅当 .
的一个可数分解，是指存在一族无交集合 , 满足 , . 从而我们有
更一般的，设 是任意实数，则函数 定义为
是一个离散随机变量. 我们称是属于加权分割的随机变量. 每一个离散随机变量都属于某一分解. 设 是定义中的可数集合，设, 那么 属于加权分割. 如果属于一个有限指标集，则分解称为有限的，随机变量称为简单随机变量.
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