解题的哲学思考——普遍性与特殊性

选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

数学的真正划分不是分成几何和算术，而是普遍和特殊的 

——James Gregory

一、哲学阐释

普遍性寓于特殊性之中，即任何事物既有个性，又有共性，既要考察它的一般性，又要考察其特殊性。比如要了解一个人，既要洞悉人性，又要洞悉人心，是人皆有人性，对人性指导我们对这个人哪些方面进行考量，但这不足以把这个人研究清楚，还要了解这个人的心，了解这个人的特殊背景和性格的形成等等，学习亦是如此。

二、科学的发展

摘自《古今数学思想》（微积分的创立）：在速度—时间的图形下的面积就是距离。因为距离的变化率必定是速度，所以如果把面积看做是求和，它的变化率必定是面积函数的导数。但是 Torricelli 没有看到普遍的情况。费马同样也只在特殊的例子中指导了面积和导数间的关系，没有体会到它的一般性或重要性、、、、、、

实际上在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺以前，微积分的大量知识已经积累起来了，甚至在 Barrow 的一本书里，就能看到求切线的方法，两个函数的积和商的微分定理，x 的幂的微分，求曲线的长度，定积分中的变量代换，甚至还有隐函数的微分定理，虽然在 Barrow那儿，几何的表达使得普遍思想难于辨识，但在 Wallis 的《无穷的算术》中，可与之相比较的结果，是用代数的形式表达的。

人们于是惊问，在主要的新结果方面，还有什么有待于发现呢？问题的回答是方法的较大的普遍性以及在特殊问题里建立起来的东西中认识其普遍性。这世纪的前三分之二的时间里，微积分的工作沉没在细节里。另外，许多人在通过几何来获得严密性的的努力中，没有去利用或者探索新的代数和坐标几何中蕴含的东西，作用不大的细微末节的推理使他们精疲力竭了。最终能培育出必要洞察力和高度概括力的费马，圣文森特的 Gregory 和 Wallis 的算术工作，而 Hobbes 批评他们用符号代替几何，James Gregory 在《几何的通用部分》的序言中说，数学的真正划分不是几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。

三、数学教学中的理解

四、解题中的应用

（一）一般化中追求通性通法

在解决一个具体问题之后，有时候可以思考其方法能否解决一般性问题，即通性通法。

【解析】此为共点的直线系，利用同理或韦达定理来处理。

方法一：借助同理简化运算：

第一步：点 A 在抛物线上，求出抛物线方程。

第二步：求出 AB 斜率，法 1：设出直线，利用点到直线的距离公式；法 2：注意到圆心和A 点的特殊性，以及圆的半径为 1，易得倾斜角为 60°或 120°。

第三步：

法 1：设出直线 AB，可求得 B 的坐标，同理可得 C 点坐标。从而求出直线 BC 方程。

方法二：韦达定理：

AC,BC,AB 三条直线地位对等，都是抛物线上两点连线的方程，结构上具有一致性

【反思】如果把问题推广为一般性问题，在给出的这么多方法中，哪一种方法可以较好的解决，这就是我追求的通性通法。恰好在八省联考后的几个月，2021 高考就考了一个一般性问题。

【点评】重要的不仅仅是方法，更重要的是我们对方法的理解和反思，抛物线中弦所在直线方程应该是视为这个问题基本且核心的要素，故找到其一般的表达式是第一步，相切，就会得到等量关系，把切点视为未知数，则有方程，多个切点，就会想到同一个方程有多个根。

（二）通过特殊化来简化

对一般情况成立，那对特殊情况也成立，特殊化往往使得问题更容易处理。

例 3.（2018 成都三诊第 11 题）

【答案】C.

【点评】如果把 A, B 放在长轴的端点， P 在短轴的端点，此题瞬间可破。如果按照一般情况来处理，需要用到椭圆第三定义——椭圆上任意一点到两关于原点对称的点斜率之积为

例 4.（2018 成都二诊第 12 题）

【点评】此题以双曲线为载体，考查解析几何的基本问题。

（三）考查事物的特殊性和一般性

在具体的问题中，既要考察一般性，这是一个什么问题；又要考察其特殊性，特殊性往往是突破口，也对应着相应的方法。

【点评】既把三角函数作为一种特殊的函数，强化相应的方法，也把三角函数的研究也纳入一般函数去寻找通性通法，比如研究

的范围，既可以几何意义去思考，也可以直

接求导，让学生不要忽略求导也是研究三角函数最值的基本方法。此题首先从一般性进行考虑，把单增转化为导数恒大于等于 0，然后再考虑三角函数的特殊性，转化为二次函数来处理。