星下点的轨迹
1 引言
在地球大气层外，有大量的人造卫星环绕地球运动。对于许多卫星而言，了解它们究竟在地表哪一点的上方是有重要意义的。那么，究竟如何计算星下点的位置呢？
本文将通过推导，给出给定参数的轨道的星下点方程。为简化问题，本文不考虑星球扁率及其他天体对轨道产生的摄动，也不考虑高层大气的阻力等因素。
2 轨道参数
首先我们需要了解卫星的轨道都由哪些参数决定。
人造地球卫星椭圆轨道的开普勒要素共有6个。它们决定轨道的大小、形状和空间的方位，同时给出计量运动时间的起算点。
2.1 轨道半长轴
轨道半长轴通常用符号表示。根据开普勒第三定律，确定了轨道半长轴就确定了运行周期。
2.2 轨道偏心率
轨道偏心率通常用符号表示。为椭圆轨道焦距与长轴的比值。偏心率为时轨道是圆;偏心率在之间时轨道是椭圆,偏心率越大椭圆越扁；偏心率等于时轨道是抛物线;偏心率大于时轨道是双曲线。本文不研究抛物线与双曲线轨道。
2.3 轨道倾角
轨道倾角用符号表示，描述轨道平面与地球赤道平面的夹角，用地轴的北极方向与轨道平面的正法线方向之间的夹角度量。轨道倾角的值从，倾角小于为顺行轨道，倾角大于为逆行轨道，倾角等于为极轨道。
2.4 升交点赤经
升交点赤经用符号表示，描述的是升交点与春分点对地心的夹角。
对于轨道倾角不为0的轨道而言，轨道平面与地球赤道会有两个交点，卫星从南半球穿过赤道到北半球的运行弧段称为升段，这时穿过赤道的那一点为升交点。相反，卫星从北半球到南半球的运行弧段称为降段，相应的赤道上的交点为降交点。
在地球绕太阳的公转中，太阳从南半球到北半球时穿过赤道的点称为春分点。春分点在地心平动坐标系中是静止的，因此春分点被用于确定轨道平面。春分点和升交点对地心的张角为升交点赤经,并规定从春分点逆时针量到升交点。轨道倾角和升交点赤经共同决定轨道平面在空间的方位。
2.5 近地点幅角
升交点赤经用符号表示。它是近地点与升交点对地心的张角，沿着卫星运动方向从升交点量到近地点。近地点幅角决定椭圆轨道在轨道平面里的方位。
2.6 过近地点时刻
过近地点时刻用符号表示。它是卫星经过近地点的时刻，以年、月、日、时、分、秒表示，是运动时间的起量点。之所以有这个参数，是因为地球时刻都在自转，但是卫星轨道的近地点方向是始终不变的，因此需要确定一个标志点。
本文将采取另一种基准，即近地点所处经度。这样的话，大多数情况下，卫星的每一圈运动对应着不同的，但在研究星下点的形状时足够了。
3 星下点轨迹的计算
这一节我们逐步具体计算星下点的轨迹。
3.1 卫星位置与时间的关系
要想知道星下点的位置，首先就要知道卫星的位置。由于地球有着自转，单纯知道卫星的轨道是不足以确定星下点的轨迹的，必须清楚卫星位置与时间的关系才可以。
为简单起见，我们在极坐标中研究问题，以地心指向近地点方向为极轴方向。
椭圆的极坐标方程为
对于椭圆轨道，还有两个重要结论：
以上两式分别给出了椭圆轨道的能量和角动量。
对于平方反比引力，引力势能为：
故有效势能为：
而
为化简表达式，令
将()()代入()可得
对上式进行配方可得
上式中，
之所以都带有绝对值符号，是因为对于椭圆轨道而言必有，而的出现来自式()。
作代换后()式即可积分。积分结果为：
其中为积分常数。
由此我们便得到了关于的表达式：
根据式()，即可得到关于的表达式：
3.2 地球自转带来的经度变化
地球无时无刻不在进行自转，对于地表上空、在地心平动系中静止的物体而言，单纯自转就会引起“体下点”的变化。因此在研究星下点时，当然也必须考虑自转的影响。
记地球自转角速度为，则时刻自转带来的经度变化即：
3.3 星下点坐标与卫星位置的关系
计算星下点轨迹中的重要一步就是找到星下点坐标与卫星位置的对应关系。我们用表示纬度，，正为北纬，负为南纬；用表示经度，，正为东经，负为西经。
假设某卫星位于处，所在轨道平面倾角为，升交点赤经为，近地点辐角为。
由图1可知，此时卫星-地心连线与升交点-地心连线的夹角即
下面推导一下星下点与升交点的经度差。
以地心-春分点方向为轴正方向，卫星角动量方向为轴正方向建立坐标系。在系中，地心-卫星方向单位矢量可以表示为：
以地心-春分点方向为轴正方向，地轴指向北极方向为轴正方向建立坐标系。在系中，地心-卫星方向单位矢量应为：
进而可以求出与的夹角
再根据几何关系
式()中即星下点与升交点经度之差。变形可得：
而星下点纬度即
其中在式()已求出。
至此我们已经成功地求出了星下点的经纬度与卫星位置的关系。
3.4 星下点轨迹的参数方程
3.3中我们已经求出了星下点坐标与卫星位置的对应关系，3.2中我们讨论了地球自转的影响，而在3.1我们给出了时间与卫星与地心的距离的关系。本节，我们将综合以上内容，给出星下点轨迹的参数方程。
将式()代入()，可得星下点的纬度为：
代入式()与式()可得经度：
将式()代入式()即可确定式中的，从而得到关于的表达式，即星下点轨迹的参数方程。
4 典型的星下点轨迹
经过推导，我们以及得到了星下点轨迹的参数方程，且该方程具有普遍性。但由于结论本身形式过于复杂，直接绘制图象存在巨大的困难。
为帮助读者更好地了解研究星下点轨迹的意义，本节将给出几种特别的星下点轨迹。
4.1 同步轨道卫星
地球同步轨道，又名地球静止轨道，轨道半径为42164.169km，轨道离心率为，轨道倾角为。对于地球同步轨道卫星而言，其星下点再地表上为一定点，这也就是静止轨道名称中“静止”的来源。
位于该轨道的卫星，可见面积大，且相对于地面是静止的，因此在通信、导航、预警、气象等领域正有着重要的作用。
4.2 倾斜同步轨道
倾斜同步轨道，轨道半径也为42164.169km，轨道离心率为，但轨道倾角不为为。倾斜同步轨道卫星的星下点轨迹通常为“8”字形。
图2为北斗导航卫星中一颗的星下点轨迹。与静止轨道卫星相比，倾斜同步轨道卫星的信号能更好地覆盖高纬度地区。
4.3 倾斜圆轨道
倾斜圆轨道是普遍应用的一种轨道。其星下点轨迹形似于正弦函数图象。
一颗轨道高度为13892km，轨道倾角60°，初始位置（0°E，0°N）的卫星24小时的星下点轨迹如图3所示。
4.4 准天顶卫星轨道
准天顶卫星轨道即日本准天顶卫星系统所用轨道。准天顶系统有3课卫星，用以增进GPS信号的可用性，增加GPS导航的准确度和可靠度。
卫星采用大椭圆轨道，3个轨道平面半长轴，离心率，倾角，升交点赤经Ω相差。这种轨道可使卫星在日本上空运行较长时间，星下点轨迹像一个不对称的“8”字。
5 结束语
卫星在现代已是不可或缺的重要工具。卫星只要与地面存在互动，就必须要考虑星下点轨迹的问题。本文推导了理想情况下非圆倾斜轨道的星下点轨迹的参数方程，并介绍了几种现实中应用的轨道。希望能对读者有所启发。