重庆市巴蜀中学高2021届第七次月考第8题：离散型随机变量的期望

重庆·云师堂

貌似我从未写过关于概率统计的题，天大的缺憾。

新高考中，代数、几何与概率统计三驾马车并驾齐驱（大致比例为50%，40%和20%），怎么可以无视其存在呢？

近几年的全国1卷中，概率统计一再取代解析几何成为新的霸主。另外，概率统计与生活息息相关，是数学建模的良好载体，所以未来我再也不会忽视概率统计的地位了。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

本题综合考查离散型随机变量的分布列和数学期望。

乍一看，题目似乎平淡无奇，然而下笔之后开始暗自神伤。因为本题不单是考查内容，同时考查计算，如何快速高效地计算出结果才是解题的王道。

大致分两步：

（1）通过分布列的性质求出参数a的值。这不难，但凡掌握二项式定理的都能完成。

（2）写出数学期望的表达式，代入a的值计算出结果。计算才是关键，我最先想到的是“导数法”；然后类比数列求和想到了“倒序相加法”；最后退而求其次——强算。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

法1，先倒序，再利用组合数的性质转化，然后相加即可算出结果。

与首末等距离的两项之和相等（或等于同一个常数），可用“倒序相加法”求和。倒序相加法不是什么高深的方法，教材中推导等差数列的前n项和用的就是此法。

法2，根据幂函数导数的特点构造二项式，赋值计算出组合数值，代入数学期望公式便可求得结论。

二项式定理是一个恒等式（正向展开，逆向合并），可以通过赋值得到相应系数的关系。值得说明的是，二项式定理还可通过丢掉某些项达到放缩不等式的目的（将来介绍）。

是的，很遗憾，法1与法2都错过了。谁能想到竟然与导数和数列相关，大意了。

即便如此，也没关系。好在本题的数据还不算特别大，那就索性强算。

真的不难算么？

不知道，我是逆向算的，哈哈。

。。。

随机变量考小题压轴题在“浙江卷”中屡见不鲜，2020年新高考山东卷的第12题也是如此（见操作），相信未来会层出不穷。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

随机变量的取值随着试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它的取值具有一定的概率，这便是随机变量与普通函数的本质差别。

随机变量分为离散型随机变量和非离散型随机变量（连续型随机变量和其他随机变量）。若随机变量X的取值可以一一列出，则X称为离散型随机变量。

要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须知道X的所有可能取值以及每一个可能值的概率，由此得到离散型随机变量的分布列。用表格来描述分布列直观而简洁。

分布列完全描述了随机变量取值的概率规律，但为了对随机变量有一个概括的认识，还需要随机变量的某些数字特征。由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面特征的常数称为数字特征。

数学期望（均值）和方差是两类最重要的数字特征，分别描述随机变量的平均取值以及随机变量的偏离程度。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故