拉马努詹：自然数之和是-1/12，如何证明的？与弦理论是否有关？

斯里尼瓦瑟·拉马努詹（ Iyengar Ramanujan）是印度自学成才的天才。他爱数字胜过一切，他几乎每天甚至每小时都会发现一个新的定理。但根据他自己的说法，这些定理是他梦中的女神Namagiri告诉他的。不管怎样，他的天才永远不会受到质疑。拉玛努詹，在他在世的最后一年发现了2000个新的定理，现在这些定理被储存在剑桥大学图书馆的三卷本中，被称为 "拉马努詹遗失的笔记本"，在他30岁的时候就去世了。
虽然拉马努詹的大部分研究都超出了大多数人的智力范围，但有一项研究非常著名，几乎所有对数学感兴趣的人都知道，那就是他证明了“所有自然数之和是负数”这一荒谬的结论。
-1/12也恰好出现在弦理论中（不是霍金的那个，而是玻色弦理论），而这个理论恰好在相当大的程度上解释了我们的宇宙！但这是真的吗？这绝对是说不通的，对吧？那看看拉玛努詹本人为这个看似不现实的等式提出的实际证明。
拉马努詹从两个数列开始：
  • T=1-2+3-4+5-6+7-...
  • S=1-1+1-1-...
首先考虑第二个式子：
  • S = 1-1+1-1+1-...
接下来，他作了一点变换：
  • S = 1-(1-1+1-1+1-...)
如果你仔细看，括号内的“东西”是零，对吧？
这里，我要提醒的是，当涉及无穷时，不要相信你的直觉，这是我在另一篇文章中详细讨论过的。
调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉
我们继续……根据我们的直觉，括号内的“东西”等于零，那么就有：
  • S = 1-S
  • 2S = 1
  • S = 1/2 - - - - [1]
重新排列后，我们得到的结果是，这个级数等于1/2。
接着是第一个等式。
  • T = 1-2+3-4+5-6+7-...
现在我们把两个T相加。
  • 2T = (1-2+3-4+5-6+7-...) + (1-2+3-4+5-6+7-...)
这里，我们把1从其中一个括号里拿出来（这只是拉马努詹众多技巧中的一个），你会习惯的。
  • 2T = 1 + (-2+3-4+5-6+7-...) + (1-2+3-4+5-6+7-...)
重新排列，我们得到：
  • 2T = 1 + [ (-2+1)+(3-2)+(-4+3)+...]
看到了吗？
  • 2T = 1 + [-1+1-1+1-...]
  • 2T = 1-1+1-1+1-...
  • 2T = S = 1/2
  • T = 1/4
没有什么问题，对吧？
现在，取所有整数之和为U=1+2+3+4+...，我们用U减去T：
  • U-T = [1+2+3+...]-[1-2+3-4+...] 。
  • U-T = [(1-1) + (2-(-2)) + (3-3) + (4-(-4))+...
加起来，得到：
  • U-T=4+8+12+...。
再次重排，得到：
  • U-T=4（1+2+3+...）=4U
  • U-4U = T
  • 3U = T
因为我们已经知道T=1/4：
  • 3U = -1/4
  • U = -1/12
因此，1+2+3+...=-1/12，但实际上是这样吗？我之前提醒过，涉及到无穷时，不要相信你的直觉！
答案是否定的! 为什么这个答案是错误的，原因来自于实分析中最基本的概念之一，收敛。如果你还没有注意到，我们谈到的第一个等式S，只不过是格兰迪级数（ Grandi’s Series）。
  • S = 1-1+1-1+1-...
S可以有两个可能的值，当我们考虑偶数项之和时为0，当我们考虑奇数项之和时为1，但S作为一个整体没有任何特定的解，因为它既不考虑偶数项之和，也不考虑奇数项之和，而是无限的级数。你可能会问，为什么格兰迪级数没有解（答案），而其他许多无限级数却有解，这个问题的答案将引导我们了解为什么拉马努詹的无限级数是错误的。
让我们把S写成求和的形式，让它看起来更 "数学 "：
  • 其中n是一个整数，当n趋向于无穷时，S变成了格兰迪级数
我们观察到，当n从1到∞变化时从S得到的值，这些值会在0和1之间来回“跳转”，或者换句话说，S的值不“收敛”于任何东西。
为了弄清收敛的概念，让我们考虑一个更简单的函数。
从图中可以看出，随着x值的增加，函数f(x)慢慢地趋向于1，图形变得平坦。或者我们可以说，该函数收敛于1。
而在另一方面，像这样的函数：
是不收敛的，因为当x的值增大时，函数g(x)趋向于∞，不像f(x)那样收敛到常数1。
拉马努詹无限级数错误的关键原因是认为S等于1/2，这在实际情况下是不可能的，尽管它被证明等于1/2，因为S是不收敛的，也就是说，即使我们取S的无限项之和，我们要么得到0，要么得到1，再加项会导致同样的结果，0或1。这里的S是一个交替的级数，即对于奇数项之和，得到一个特定的结果1，而对于偶数项之和，得到另一个结果0，而且数值一直在变化。
对于第二个级数T，也可以发现类似的错误。
  • T = 1-2+3-4+5-6+7-...
重新排列和简化后我们得到：
  • T = (1-2)+(3-4)+(5-6)+...
  • T = -1-1-1-...
或者用更多的数学术语来说。
它与最初发现的1/4的值不一致是有道理的，因为我们曾用S=1/2来找到相同的值，而我们已经看到，S=1/2是绝对错误的。
此外，作为所有自然数之和的U可以写成。
  • U以极限的形式写出来
从U的极限表达中可以看出，n(n+1)/2不能被简化以得到∞以外的结果。因此，由于所有自然数之和n(n+1)/2绝不是收敛的，我们不能期望它收敛到-1/12。
注意到前面讨论的弦理论中出现的-1/12是很有趣的，这将是下一篇文章的主题了。
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