升维思考精准构造：从辅助线到辅助形

数学解题的实质就是构造数学模型（每个数学知识和方法都可以看成一个数学模型），有些题目中所含模型明显而单一，属于简单题，有些题目所含模型隐蔽而复杂，属于难题。前者找出模型应用即可，后者一般需添加新元素构造相关模型，在几何题中即所谓添加辅助线的问题。

有些难度的几何问题一般需要添加辅助线，据说这是学生感觉数学题最难的地方，很多学生往往苦思冥想没思路，而当别人把辅助线作好之后，他便恍然大悟，似乎突然明白了。但这种明白其实不是真明白，只是'事后诸葛亮'而已，下次再遇类似问题，仍然想不到，于是很多学生惧怕需要添加辅助线的题目。在他们眼中，'辅助线'是一个神奇的东西，每当它横空出世，就会迅速化腐朽为神奇，然而自己却无法掌控，只能凭经验碰运气，可遇而不可求。为什么会这样呢？先想想，作辅助线的目的是什么？当然是为了构造出新图形，形成已知的数学模型从而产生联系。既然如此，那么在作辅助线之前脑中应该先有成型的图形。就像盖房子，先有蓝图，再来建造。

问题就出在这个地方，学生在作辅助线之前脑中并无完整图形，就像暗室寻物，谈何容易。什么样的题目需要作辅助线？显然是模型不全以至条件无法联系运用的题目。而作辅助线就相当于把数学模型补全。那么什么情况下才能熟练高效地作出辅助线呢？要么先前有类似经验解决过相似问题；要么能根据题意推理判断题中所含模型，然后对照添加辅助线补全残缺部分。显然前者需要大量的训练及记忆套路，而且仅此无法解决复杂问题和新问题。而后者可以根据一般策略和基本模型解决各类复杂问题和新问题，此方为根本之道。

我们来探讨后者具体应该怎么做。

1.理解－存储模型：理解并掌握所学的基本模型和常用的复合模型。

2.分析－联结模型：解析问题中的各种信息元素的联系和作用，明确它与相关模型的联结。

3.判断－重组模型：重组问题中的相关元素，判断属于何种模型，确定数学模型中的已知部分。

4.构造－补全模型：运用各种方式构造图形以补全模型，如进行添补、平移、旋转、翻折、缩放等操作。

因为几何模型有确定的图形结构，所以这里的思考方式可以称为构造'辅助形'。它与'辅助线'思维最大的不同是：辅助线着眼于局部的线，辅助形着眼于整体的形。'辅助形'在作图之前，脑中已有完整的图形；'辅助线'在作图之后，眼中才呈现出完整的图形。孰优孰劣，孰难孰易，显而易见。

'辅助线'是一维的线性思维，'辅助形'是多维的立体思维，升维思考，降维打击，效率不可同日而语。

下面我们仍以实例说明。

例1. 小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且BD=AC，CD=AE，BE与AD的交点为P，求∠BPD的度数；

小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF//AC且BF=AE，连接AF，DF，从而构造出△BDF与△CAD全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：∠BPD的度数为__．

参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：

如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB、CA上的点，且AE=1/2CD，BD=1/2AC，BE与AD交于点P，求sin∠BPD的值．

我们首先看下题目的结构和命题者的意图。

命题者认为此题的辅助线作法对于学生来说很难想到，所以给出了思路和方法，为学生搭建台阶。其实这种台阶价值很小，即使学生作出了辅助线做对了题目，也只是机械模仿，对于解题的根本原理和思考逻辑并没有真正理解。

图2中辅助线的作法'BF//AD且BF=AE'是如何想到的？这其实是最难的一步。其背后逻辑题中并没有说明，仿佛从天而降凭空出现。如果老师也这样教学，学生必然难以理解，只能死记硬背，在新问题情境中只有盲目尝试，做对辅助线只是靠运气。

我们从'辅助形'的角度思考，问题就可以轻松解决。

（1）判断条件'BD=AC，CD=AE'与哪种几何模型相关？

边角相等关系自然会与'全等'模型产生联结，那么全等三角形在哪里？

（2）把条件'BD=AC，CD=AE'中各元素进行重组（AC与CD构成三角形），可以确定全等三角形中必包含ΔACD。

那么另一个与之全等的三角形在哪里？

（3）不用盲目猜测尝试，逻辑推理才是王道。还是从条件出发，由'∠C=90°'推得'BD⊥AC，CD⊥AE'，即全等三角形的对应边互相垂直。

看看，这就是逻辑的力量，辅助线还没画，我们就已经'胸有成竹'：那个在迷雾之中还未出现的三角形，它必然是ΔACD旋转90度所得到的。

（4）从未知寻找未知很困难，从已知寻找已知很容易。我们已经知道那个神秘的三角形是由ΔACD旋转90度所得，并且必以BD或AE为边，它还难找吗？

画图就可以了，如下图，先把ΔACD旋转90度再平移至BD或AE处即可。

试想，学生如果具备这样的思考方式，还需要在题目中设置解法提示吗？即使第一次遇见这样的新问题，也完全可以解决。

图3的问题可以用这样的思考方式轻松解决。

由条件'AE=1/2CD，BD=1/2AC'知'AE：CD＝BD：AC＝1：2'，自然与相似模型相联结，再由'∠ACB=90°'知需构造的相似三角形是ΔACD旋转90度并缩放为1/2所得。

值得一提，通过运动变换的方式构造全等（相似）模型之后，除全等（相似）三角形外一般会产生一个新的特殊图形，如图2、图3中都会产生一个新的特殊直角三角形，图2中直角边为1：1，图3中直角边为1：2。这样我们可以把这个问题进行一般化，改编为'AE=m/n CD，BD=m/n AC'，都可以用同样方法求出sin∠APE的值。

从此例我们得到什么启发？

分析问题时要'目无全牛'，因为这类复杂问题是需要重新构造才能形成完整的模型，而构造的依据和原料是图形中的各已知元素，要先对各元素进行分离，然后重新组合，找到它们在问题中所扮演的新角色。如上题图2中根据条件把AC、CD组合成三角形，判断它是全等三角形中的一个。

构造模型时要'胸有成竹'，根据题意确定模型中的已知部分与未知部分的联系，利用已知确定的图形寻找需要构造的未知部分。如上题图2中，ΔACD是确定已知的图形，把它进行旋转平移构造出辅助图形。

下面再以一例小试牛刀：

例2.如图，ΔABC中，BC=6，∠C=60°，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，ΔDEF为等边三角形，当BD=2AD时，求线段CE的长度。

根据题中信息联结相关模型，再构造之：

我们发现，上面的多种信息可以有不同的组合方式，能够联结不同的模型，且指向同样的辅助线作法，可见这种思考方式的结果是必然的、准确的。

其实不仅几何题需要添加辅助图形构造数学模型，很多代数问题也需要添加辅助元素构造数学模型。比如二次函数求最值，就是添项构造完全平方模型。但是学了配方法求函数最值后，学生是死记变形步骤，还是理解了构造方法？可以用下面的问题检验：求16/x + x +1（其中x>0）的最小值。如果是教学生用整体思维去解决，在构造之前学生的脑中应该会先出现'（ ）^2 +（ ）'这一完全平方模型，而不是背'先提二次项系数，再加一次项系数平方的一半'这种死步骤。

依靠经验猜测尝试单线思维而成功解决问题是偶然的，利用已有信息和知识进行逻辑推理整体思维而成功解决问题是必然的，这就是从经验直觉到理性思考的飞跃。