桥式起重机主梁稳健优化设计
张 英 徐江平 曾 刚
0 引言
桥式起重机（以下简称桥机）是生产作业过程中常见的物料搬运设备。桥架是桥机主要承载结构，其质量约占整机自重的60%，随着设计制造能力的提高，桥机逐渐向节能、轻量化发展。文献 [1] 通过对桥机的分析研究，从小车设计、运行机构设计、结构设计等多方面阐述了桥机实现轻量化的技术途径和措施；文献[2] 通过联合使用将 Ansys 与 Isight 集成，以主梁结构强度和刚度以及主梁腹板和翼缘板的局部稳定性作为约束，以主梁截面尺寸作为设计变量，对桥机主梁结构进行轻量化研究，有效降低了桥机的质量，但由于未在优化过程中考虑设计变量的波动及噪声因素的影响，弱化了优化效果。
在产品质量设计中，由于设计、制造和使用等功能因素的不确定性，使产品的质量特性很不稳定，发生波动。从设计观点上看，可将这些因素分为两类：一类为可控因素，如零件几何尺寸，材料的抗拉强度值等；另一类为不可控因素，又称为噪声因素，如产品的使用环境，材料特性、制造参数的波动等[3]。传统确定性优化往往因参数的波动导致优化方案不可行。在桥机设计制造过程中，必须考虑参数的波动性，进行基于不确定性的优化设计，才能降低优化结果对优化参数的敏感性， 提高实际工作过程中的使用性能。稳健设计是使所设计的产品无论在制造和使用中，结构参数发生变差，或是在规定寿命内结构发生老化和变质时都能保持产品稳定性的一种工程设计方法，即减少、控制目标函数响应的波动, 降低在设计点上的敏感性，提高系统的稳健性。6σ 稳健优化设计将 6σ 质量管理、可靠性设计和稳健设计相结合。在设计之初考虑设计变量、噪声因素等不确定信息，使目标函数和约束函数的均方差最小，并要求产品质量在均值 6σ 范围波动时均满足设计要求，从而大大提高产品的可靠性和稳健性 [4，5]。
1 基于试验设计的响应面模型构建
响应面模型是在试验设计基础上所建立的设计变量与产品响应量（一个或多个）的函数关系，并通过简单的代数表达式展现出来，故可方便地进行分析计算和优化设计。对于工程计算，2阶多项式响应面函数即可满足精度要求 [6]，其表达式为
式中：n 为模型的输入变量个数，xi 为输入变量集，βi 为响应面多项式的待定系数，ε 为拟合误差项。
待定系数的计算过程是通过将待定系数组成一个列矩阵β ，并通过最小二乘法得到系数矩阵，表达式为
式中：X 为响应面样本点矢量；Y 为样本点对应的响应矢量，具体可表示为
2 6σ 稳健优化设计理论
6σ 稳健优化是以寻找设计空间的平坦区域为目标，在满足质量约束要求的可靠性概率情况下，使不确定输入变量造成的输出响应波动最小化。6σ 稳健优化设计相比于传统确定性优化设计既能优化设计目标，还能降低约束条件和目标函数对设计变量变化的灵敏度，大大提高了系统稳健性[7]。传统确定性优化问题的数学模型为
式中：F (x )、Gi (x ) 分别为目标函数和约束函数，i为约束函数个数，x u、x l 分别为设计变量的上下限。
稳健性优化问题的数学模型为[8]
式中：μx、σx 为设计变量均值、标准差；μy、σy 为函数响应均值、标准差；n 为σ 的水平数，本文取n ＝ 6，即6σ 稳健优化设计。为达到平均性能目标及最小化性能波动，目标函数可表示为
将式（3）代入式（7）即可求出响应面函数的系数矩阵β ，得到具体的响应面函数表达式。
式中：M 为期望达到的平均性能目标，ω 1i、ω 2i 分别为μy 和σy 的权重系数，S 1i、S 2i 分别为μy 和σy 的归一化系数。
稳健优化设计函数响应的均值和标准差可由蒙特卡洛方法计算得到。通过蒙特卡洛方法对当前设计变量进行随机扰动，得到一组样本点进，经过统计分析获得各输出响应指标满足可靠性约束的程度，同时也统计各输出响应指标的均值和标准差[9]。桥机主梁稳健优化设计时，为减少计算工作量、提高优化效率，在桥架结构有限元模型基础上建立目标及约束函数响应面模型，对选定参数给定参数概率特性进行6σ 稳健优化设计，见图1。
图1 稳健优化流程图
3 桥机主梁稳健优化
以某型桥机为研究对象，其主梁跨度L ＝ 22.5 m，额定起升质量Q ＝ 20 t，小车质量Gx ＝ 6 800 kg，桥架结构总质量G ＝ 14 949 kg，各部件材料均为Q235 钢，材料密度ρ ＝ 7 850 kg/m3。依据文献[10]，材料许用应力为[σ ] ＝ 175 MPa，，静刚度约束[f ] ＝ L /750，许用
静刚度值为30 mm。
图2 为利用Ansys 建立的桥架结构有限元模型，桥架结构由薄钢板焊接而成，故采用Shell 63 单元进行模拟。
图2 桥架结构有限元模型
3.1 确定性优化
由于制造、测量等原因，桥机设计中存在很多不确定变量，如钢板的弹性模量和泊松比以及起重机运行过程中冲击系数、动载系数等在制造和运行过程中不可控的因素，它们的波动对桥机结构强度、刚度的影响较大[11]。若在优化过程中忽视这些因素的影响，将大大降低优化方案的可靠性。因此，本文以主梁截面参数为设计变量，钢板的材料参数弹性模量E 、泊松比u ，及运行中的起升冲击系数φ 1、起升载荷动载系数φ 2 为噪声因素，以结构最大应力及静刚度为约束条件，桥架结构的重量为目标进行桥机稳健优化设计，优化模型为
式中：Stress 为桥机在跨中工作状态下的最大等效应力，Disp 为桥机在跨中工作状态下最大静刚度，x u、xl为设计变量的上、下限。主梁截面尺寸如图3 所示，各设计变量均服从正态分布，具体如表1 所示，各噪声因素波动范围分别如表2 所示。
图3 主梁截面示意图
为构造合理的响应面模型，文中采用最优拉丁超立方法获取80 组试验数据样本，该方法具有很好的空间填充性和均衡性使因子和响应的拟合更加精确。在设计空间中随机生成10 组误差分析样本点，以检验响应面模型精度，其结果显示Stress 、Disp 和Mass 的R 2 误差分别为0.969 95、0.999 79 和1，各项误差指标均在允许范围内，表明该响应面模型精度较高，可代替原模型
进行优化计算和稳健优化设计。
工程中的优化问题往往比较复杂，其目标函数可能存在多峰性、非线性、非连续、不可微等问题，传统优化算法经常落入局部最优解，导致优化失败，本文利用Isight 集成的全局优化算法——自适应模拟退火算法（ASA）对模型进行求解，将优化计算所得结果进行圆整处理，并分别计算其可靠度及σ 水平，结果见表3。
从确定性优化结果来看，主梁截面参数中板厚设计变量T 1、T 2 和T 3 具有较高的可靠性，均达到6σ 水平。设计变量B 及结构最大应力较接近约束边界，可靠性较低。在设计变量的波动或噪声因素的影响下，极易造成因结构最大应力超出许用值而设计失败。因此，有必要对结构进行稳健性优化。
3.2 6σ 稳健性优化
保持各设计参数范围、噪声因素和约束条件不变，同时为满足结构轻量化要求，将桥架质量作为另一约束条件，限制在14 950 kg 之内。采用自适应模拟退火算法（ASA）对模型进行求解，将优化计算所得结果进行圆整处理，并分别计算其可靠度及σ 水平，结果见表4。
初始方案、确定性优化方案和稳健性优化方案中静刚度和结构最大应力标准差如表5 所示。由表3、表4 和表5 可知，稳健优化设计下桥架质量为13 073.86kg，较确定性优化结果有所增加，但较初始方案下降了12.5%。稳健性优化下静刚度标准差较初始方案略有增加，但较确定性优化下降了20.9%，结构最大应力标准差分别较初始方案、确定性优化下降了17.8% 和26.4%。与确定性优化相比，稳健优化中各设计变量和约束均远离了边界，达到了8σ 水平，可靠度达100%，优化结果具有更强的抗干扰能力。
4 结论
针对传统优化设计中忽略不确定因素对优化结果的影响问题，建立了桥机金属结构有限元型，结合响应面近似模型技术、蒙特卡洛抽样法及6σ 稳健优化方法对桥机主梁进行优化。通过稳健性优化，桥机结构自重明显降低，同时减小了优化结果对设计变量波动及噪声因素的敏感性，大幅度提升了桥机结构的可靠性和稳健性，为桥机的结构设计和改进提供参考依据，具有一定
理论与实际意义。