怎么估算整数部分？多种方法解决竞赛题

2018年美国10年级数学竞赛题：

这类问题，通常需要仔细观察算式结构，提取公共部分，并进行适当的变形，对技巧要求比较高。从不同的角度去讨论，一般有不同的方法可解决。

方法一、先进行恒等变形

由于分子分母都比较大，所以略去其中的数字1后，结果将极为接近真实值，误差极小，且估算结果将偏大。

因此答案选A。

方法二、不等式放缩和换元法结合，设

则有

注意到

因此有

比81小的唯一选项只有A。

方法三、另一种恒等变形方式。

减号后面的部分是一个小于1的数，所以只能选择A。

方法四、注意到

并且

因此结果必定在16和81之间（这一步的原因需要仔细体会），所以只能选择A。

还有其他不同的方法，这里无法全部展示了。彻底弄明白每种方法的来龙去脉，有助于增强我们放缩估算的能力。