期权卖方的事后风控：Delta 对冲的实例讲解及有效性分析
大家好吖~我是【期权时代】的主编期权小师妹~期权的事儿，问我咯~
本文对Delta 对冲的有效性进行了相关分析，文中的说明脱离了以往的限制，其意义在于，将准确预测未来波动率这一几乎不可能完成的事情，转变为只需要比较预测值与隐含波动率之间的大小关系即可。
下面就跟小师妹一起开始今天的学习内容吧！
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编辑整理：期权小师妹@期权时代
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假设标的资产的未来波动率为 30%，期权的隐含波动率为 40%，离到期日还有 20 天。因为期权隐含波动率比未来波动率高，所以应该在卖出期权的同时利用期货来对冲 Delta。假设期权是看涨期权，那么就需要买入期货进行对冲。Delta 对冲 的方法如下。
（1）买入与卖出看涨期权 Delta 值相同的期货。
（2）随着市场的变化，看涨期权的 Delta 值也在变化。
（3）如果持仓的 Delta 值是正数则卖出期货，如果 Delta 值是负数则买入期货，将整体持仓的 Delta 对冲为 0。
在卖出看涨期权的时候，单张看涨期权合约的 Delta 值为 0.25，假设卖出 4 张看涨期权合约，则所有的看涨期权的 Delta 值为−1，那么此时买入一张期货合约就会使持仓的 Delta 值为 0。如果标的资产上涨，看涨期权的 Delta 值就会增加。
假设看涨期权的价格从 0.25 元涨到 0.5 元，那么原来持仓的 Delta 值就会变成−1（−0.50×4 （卖出看涨期权张数）+1.0（买入一张期货合约）=−1.0），在这种情况下再买入一张期货合约就会使整体持仓的 Delta 值还原为 0。
Delta 对冲时间按一定的时间间隔进行，根据偏好可以设置 20 分钟、30 分钟、 60 分钟等时间间隔进。在进行计算时可能会有 Delta 数值不为整数的情况。在实际交易中如要进行 Delta 对冲，不仅可以使用期货，还可以通过期权使得 Delta 值为 0， 这里我们只通过期货进行 Delta 对冲。
本例中 Delta 对冲的假设条件如下表所示。
标的资产价格 3500 元是指期初的标的资产价格。下面通过 B-S 期权理论模型来计算期权价格。假设未来波动率为 30%，那么期权的合理价格应该是 80.36 元。而隐含波动率又设为 40%，因此最初的看涨期权实际价格为 118.99 元。
由此可知看涨期权被高估了 38.63 元（118.99−80.36=38.63 元）。期初的标的资产价格虽然是 3500 元，但期货价格会在此价格加上到期前剩余时间的利息。
前面提到期货价格公式为 F=Ser × T/252≈S（1+r×T/252），那么根据公式可以得出，期初的标的资产价格与期货价格分别为 3500 元与 3511.13 元。在实盘交易中，期货价格的最小变动单位是 0.2，但为了计算方便将以 0.01 作为最小变动单位。
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模拟实验（一）
表格为模拟实验中所需要的最基本的参数。
Tr.Days 是交易天数；Tr.Hours 是交易日的交易时间；Minutes 是模拟股价生成的时间间隔，也是每次 Delta 对冲的时间间隔。如果 Tr.Days 是 20，Tr.Hours 是 4，Minutes 是 10，则一个交易日将会产生24（Tr.Hours×60/Minutes= 4×60/10=24）个数据，20 天就会有 480 个模拟标的资产、期货价格、期权价格。“未来实际”指未来波动率。未来波动率预测值是 通过模拟的标的资产价格计算得出的。
隐含波动率虽然设置为 40%，但也可以根据偏好设置。预测值都是对到期之前的波动率进行预测的数据。这些波动率的预测值对判断期权价格被高估/低估有非常重要的意义。
隐含波动率是通过实际交易的期权价格导出的数据，但预测值与未来波动率可能相同，也可能不同。预测值要依靠交易员来判断，可以根据如下情况进行交易。
◎ 预测值（50%）>隐含波动率（40%） ⇒买入看涨（看跌）期权+卖出（买入）期货
◎ 预测值（30%）<隐含波动率（40%） ⇒卖出看涨（看跌）期权+买入（卖出）期货
在期权交易中，需要各种各样的希腊值数据，计算这些数据最重要的参数就是波动率。其关键在于代入哪一种波动率，有些人代入隐含波动率，有些人代入历史波动率。
后面的 Delta、Gamma、Theta 等希腊值的计算中我们将使用预测值的数据，比如，期初交易员将标的资产的波动率设置为 30%，那么在计算 Delta 等希腊值数据的时候就会将 30%代入 B-S 期权公式中。
“理论价格”是把未来波动率代入计算出来的理论价格，但并不是把预测值代入波动率公式计算出来的理论值。用隐含波动率体现的市场价格与用未来波动率体现出的适当价格之间的差距对 Delta 对冲交易来说具有非常重要的意义。
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模拟交易 1：预测值（30%）=未来波动率（30%）
在模拟实验中，假设隐含波动率为 40%，预测值为 30%，对应的是卖出看涨期权+买入期货组合。预测值与未来波动率完全吻合是非常少见的情况。如果 nPaths （表示至今为止反复模拟交易的次数）设置为 30，我们来看一下 30 个可能的股价路径中的某一个路径的标的资产变动与交易损益，如下图所示。
图中左边纵轴是标的资产价格，右边纵轴表示收益，损益曲线用点线表示， 标的资产价格用实线表示。标的资产价格从 3500 元开始到 4006.84 元结束。投资组合的收益在开始时为 0 元，到期时为 36.43 元。
看涨期权的行权价格是 3600 元，期权价格从 118.85 元涨到了到期日的 406.84 元（4006.84−3600=406.84 元）。因为是卖出看涨期权，所以大约有 288 点的亏损。这说明即使期权被高估，卖出期权也不一定就有收益。虽然期权有亏损，但由于同时买入了期货进行对冲，所以有 36.43 元的收益产生。
做此交易最初的原因是判断出未来标的资产波动率 30%比隐含波动率 40%小， 适合做卖出期权。但交易员只是卖出了被高估的期权，利用标的资产或者期货每 10 分钟做一次 Delta 对冲，最初对交易员有利的 EDGE（表示市场价格与适当价格之间的差距）为 38.5。
如果不计手续费，到期日就会有 36.43 元的收益。虽然之间存在误差，但这只是单独列出某一条路径时才会发生的差异。当 nPaths 设置为 30 之后，对 30 条路径综合分析，就会发现平均收益为 38.09 元，与 EDGE 的 38.5 近似。而30 条路径的收益标准差为 3.28，也不是很大。
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模拟交易 2：预测值（38%）>未来波动率（30%）
现在我们假设预测的标的资产波动率在到期日为 38%，预测值仍然比隐含波动率（40%）小 2%，因此也要使用卖出看涨期权+买入期货组合。与模拟交易 1 一样， 这里我们同样用 30 条路径中的一条进行分析，即也将 nPaths 设置为 30，如下所示。
这次的标的资产价格从 3500 开始到 3470.92 元结束。如果在卖出看涨期权后， 没有做 Delta 对冲，那么到期时会有 118.85 元的收益，但如果做了 Delta 对冲，就会有42.71 元的收益。30 条路径的平均收益是 37.93 元，与 EDGE 的 38.50 有差异。 与平均数基本上没有差异，但标准差为 11.64，相比模拟交易 1 的标准差 3.28 大了许多。
这样的差异是从哪里来的呢？模拟交易 1 的结果的前提是正确预测未来波动率为30%，因此各条路径的收益与 EDGE 没有太大出入。但在模拟交易 2 中将未来波动率预测为 38%，因此就算平均收益差不多，但各条路径的收益与 EDGE 之间产生比较大的差距。
把未来波动率分别设置成 30%与 38%的希腊值的比较结果如表所示。
当未来波动率为 30%时，Delta 为 0.40，当未来波动率为 38%时，Delta 为 0.43。如果卖出看涨期权 100 个合约，则需要分别买入 40 手和 43 手期货合约才能使整体持仓的 Delta 为 0。虽然是很小的差异，但 20 个交易日下来一定对损益有影响。
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模拟交易 3：预测值（25%）
假设预测的标的资产波动率在到期日为 25%，将波动率 25%代入期权模型中求得各个希腊值，再用求得的 Delta 交易至到期日。因为预测值低于隐含波动率，所以同样使用卖出看涨期权+买入期货的方式交易。
如图所示，收益为 44.53 元。30 条路径的平均收益是 39.65 元，标准差是 9.68。平均收益与 EDGE（38.50）虽然相近，但标准差比较大。而且从图右上角的椭圆形区域中可以看出，越是临近到期日，收益曲线就越平。标的资产在临近到期日时，价格在3300 元到 3400 元之间波动。
由此可知行权价为 3600 元的看涨期权的价格已经基本为 0。看涨期权价格是 0 元，则说明其 Delta 值也趋近于 0。因此不需要用买入期货的方式将 Delta 对冲为 0。换句话说就是整个持仓实际已经为 0， 不会因为标的资产的价格波动带来任何损益。
解析模拟交易的结果
模拟交易 1、2、3 的结果如表所示，这是用不同的波动率预测值对 30 条路径计算的结果，从表中可以看出平均收益与 EDGE（38.5）差不多。
这里虽然只提供了 3 种情况，但也可以从中了解到，预测值与未来波动率差异越大，其收益的标准差就会越大。这些模拟结果对我们有什么启示呢？可以重新解读预测未来波动率在交易中的重要程度。如果已知未来波动率，则可以通过准确的 Delta 对冲将 EDGE 转化为收益，但未来波动率是无法被任何人预测的。
虽然无法预测未来波动率的严酷现实摆在眼前，但我们却仍然从表中看到一丝希望。
上表展示了当波动率预测值各为 25%、30%、38%时的平均损益。这里重要的不是预测值的具体数值，而是预测值在期初就比期权的隐含波动率 40%小这一事实。
把期权的隐含波动率与要持有到期的标的资产的波动率的预测值进行比较，若预测值比隐含波动率小，就可以认为期权被高估，从而卖出期权，同时买入或者卖出期货来对冲Delta。因此对于交易员来说，重要的不是精准预测未来波动率，而是判断预测值与隐含波动率之间的大小关系。
表中的核心在于未来波动率的预测值与隐含波动率谁大谁小。精准预测未来波动率是一件很难完成的事情，但比较未来波动率的预测值与隐含波动率大小的关系就简单很多，只有两种可能性。但预测值的准确率越低，损益的标准差就越大。 如果交易次数较多，就会使平均收益向 EDGE 收敛。
以上说明都是对 Delta 对冲有效性的分析。以上的说明脱离了以往的限制，其意义在于，将准确预测未来波动率这一几乎不可能完成的事情，转变为只需要比较预测值与隐含波动率之间的大小关系即可。
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