【名师支招】三大变换之旋转(三垂直模型)

上一篇我们了解了关于手拉手模型的一些内容,同样作为模型,但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同,“手拉手”本身可以作为问题,而“三垂直”更多地作为一种方法来帮助解决问题,因而我们要了解的侧重点也会有所调整,依然有三点:
(1)三垂直模型的构成;
(2)什么条件下考虑构造三垂直;
(3)构造三垂直能带来什么.
01
三垂直模型的构成

△ABC是等腰直角三角形,一条直线过点C,分别过A、B向该直线作垂线,垂足分别为D、E,则△ADC≌△CEB.

【小结】尝试用文字来描述三垂直模型:
一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点,过另外两个顶点分别向该直线作垂线,即可得三垂直模型.(等腰、直角、作垂直)

【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么?

等腰——可得一组对应边相等;

直角+作垂直——可得两组角对应相等.

【弱化条件】

(1)如果没有等腰?

依然可以构造三垂直,只不过得到的是三垂直相似,而非三垂直全等.

如图,有△ADC∽△CEB.

特别地,若点C为BD中点,

则△ADC∽△CEB∽△ACB.

(2)如果没有直角?

直角与作垂直是配套的,最终的结果是有三个直角,其价值不在于它们是特殊角,而是它们都相等,所以即便没有直角,换成三个相等的角亦可,即“一线三等角”模型

举个关于一线三等角的例题:

2018遵义中考-对称章节里见过

看个例子就可以了,今儿不聊一线三等角的事.

02
什么条件下构造三垂直?

根据问题一的分析已经很明显了,可以没有等腰,但需要有直角,当然如果是等腰直角那就再好不过了.

那看到有直角就考虑构造三垂直?当然也不是,起码问题得和直角相关,并且这个直角是斜着的.

引例1-几何图中的构造三垂直

引例2-坐标系中的构造三垂直

【小结】尤其是在坐标系中,构造三垂直可以帮助计算点坐标或直线解析式,并且触发条件除了直角之外,也可以是其他确定的角,比如45°角.

引例3-45°角构造三垂直全等

【小结】设计坐标系中构造三垂直,尽可能让直角顶点是已知点,会简便计算,如上题中的第一种作图优于第二种.

除了45°之外,坐标系中出现其他的确定角,亦可构造三垂直.

引例4-已知角构造三垂直相似

【小结】当没有直角、没有45°的时候,构造出来的便是三垂直相似,而非全等了,对于计算线段来说,全等还是相似,又有什么区别呢?
03
三垂直带来什么?

这其实本身不应该是一个问题,而是对前文的思考.三垂直是如何帮助我们解决问题的?

构造三垂直全等,一方面可以得到相等线段,在几何图形中作等量代换.另外在坐标系中构造三垂直全等,可实现“化斜为直”,用水平或竖直线段刻画图中的点与线,会更方便计算.

继续来看相关中考真题:

2019宜昌中考

2017苏州园区模拟

2019十堰中考

2019无锡中考

2019沈阳中考

2016河南中考(居然有备用卷)

【写在最后】

知其然,知其所以然;知其用,知其何以用.

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