等边三角形面积问题新解
下面这道题目大家应该都比较熟悉了，在学习勾股定理或旋转的时候，常常会遇到这类题目。在这里大家和一起来温习下。
【题目】
已知，为等边三角形内一点，，，，则 ．
【分析】
题目要求的是三角形的面积，
那么我们想到的是什么呢？三角形的面积S=底×高÷2，所以考虑先求边长。
那怎么求边长呢？题目只给出PA、PB与PC的长度，且比较特殊。
容易联想到“勾三股四弦五”，可以适当进行构造直角三角形。
如图所示，选择其中的一条线段如PC进行构造直角三角形。令PD=3，CD=4。
那怎么把原来的PA与PB进行转化呢？
由于等边三角形的三边相等，任意两边都是“等长共顶点”的线段，所以可以考虑利用旋转进行构造。如下图所示：
将△APB绕点A逆时针旋转60°，并落在△AP′C处。此时易得△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形。得∠AP′C=60°+90°=150°。
但是这个和求边长有什么关系呢？
由于AP′=3，P′C=4，且它们的夹角∠AP′C=150°为定值，所以△AP′C的形状与大小是固定的（类似SAS）。那么就相当于解三角形了。
初中阶段学的都是解直角三角形，那么可以考虑构造直角三角形。如下图所示：
易得AD与CD的长度。那么结论就出来了。
．
．
【答案】
那么，能不能过点C进行构造呢？也是可以的。
方法是一样的，这里就不重复了。
那同学们就问了，还有没有其它方法介绍呢？
当然有啦。
如上图所示，分别将三个三角形旋转出去，得到一个六边形。这六边形分别由3个等边三角形与3个直角三角形的面积组成。算出来再减半即可。
三个等边三角形的面积为．
三个直角三角形的面积为．
所以六边形的面积为．
那么△ABC的面积就是．
这种方法是不是更简单直接呢？
【拓展】
下面是旋转辅助线的几种不同的方法：
①绕点A逆时针旋转60°．
②绕点B逆时针旋转60°．
③绕点B顺时针旋转60°．
如果绕点C旋转呢？当然也是可以的，不过没有那么好算。所以就不作考虑。
如上图，将△APC绕点C逆时针旋转60°，此时要算也是类似。如果用高中的余弦定理则会更简易一些。这里不再拓展了。
辅助线作法总结如下：
【举一反三】
如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB= ．
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