由一道化学真题引发的类比 / 四六文摘

今天小编“不务正业”一把，我们来看一道2016年理综全国一卷的化学题：

此题源于一次值班的过程，一次和一位化学教师和另一位数学教师在学校值班，时至中午，没有什么事情，这位化学老师拿出这道题，让我们做，因为涉及到空间直角坐标系，我看了看，说实话，想当初，我的化学成绩也是一等一的，只是，现在，嗨！！！询问了这位化学教师这个东西的结构后，似乎思路逐渐清晰，由于这个图不清晰，我重新作一下（从数学的角度），当然我们只做第六问的第一小问。

在完成这一问题，我突然想到：四面体ABCE恰好是正四面体，而点D是四面体外接球的球心，类比正三角形四心合一，那么正四面体是否也存在四心合一，那么正四面体外接球的球心，我们类似地叫做外心，那么和重心重合。我们类比线段的中点（重心）、三角形的重心的坐标公式。

经验证：（最起码在这道题中）是成立的

事后，我想，对于任意的四面体是否象三角形一样存在五心，即外心、内心、重心、垂心以及旁心。

首先，我们来研究四面体存在五心的可能性。

我们知道任意△ABC都存在外心（外接圆的圆心）、内心（内切圆的圆心）、重心（三条中线的交点）、垂心（三条搞的交点）以及旁心（旁切圆的圆心），而三角形是平面内最简单的多边形，而空间中最简单的多面体是四面体，所以我们可以类比三角形的诸多性质类比得到四面体的一些性质。

我们知道每个三角形都有外接圆，类比到空间中，我们猜想每一个四面体都有外接球，不妨设想，把任意一个四面体放置于一个理想的气球（球体）内部，对气球不断放气，假定气球在放气中保持形状不变，即恒为球体，随着气球体的半径的缩小，总会存在一种状态，使得四面体的各个顶点都在一个球面上，从而我们可以得到任意一个四面体都有外接球，，并且是唯一的，而这个外接球的球心，我们称之为四面体的外心。

类似的，每个三角形都有内切圆，类比到空间中，我们猜想每一个四面体都有内切球，不妨设想，把一个足够小的理想的气球（球体）放置到任意一个四面体内部，对气球不断充放气，假定气球在放气中保持形状不变，即恒为球体，随着气球体的半径的增大，总会存在一种状态，使得气球在四面体内部无法移动，体积不再增大，即气球与四面体的四个面都相切，从而我们可以得到任意一个四面体都有内切球，，并且是唯一的，而这个内切球的球心，我们称之为四面体的内心。

同样，我们把四面体的三个侧面延展，与四面体的第四个面构成半封闭的几何体，借助于理想化的气球也可以得到四面体存在旁心，且四面体有且只有四个旁心。

至于重心，我们不难理解，任意几何体都存在重心，所以四面体也不例外，我们可以通过微积分可以求出任意四面体的重心位置。也就是说，四面体存在重心。

那么垂心呢？实际上并不是所有的四面体都有垂心的，譬如我们熟悉的“鳖臑”：

显然我们有SA⊥面ABC，BC⊥面SAB，而SA与BC是异面直线，不可能相交，所以在四面体内不存在这样的垂心。

之所以会出现这样的情况是因为我们类比得到的结果未必正确，尽管三角形与四面体有着太多的相似性，但是毕竟发生了维度的变化，垂心的例外进一步说明，我们运用类比的方法，由二维空间向三维空间“移植”，需要经过严格的证明，同时也说明三角形和四面体虽然有很多“相似”之处，但是也有不少不同之处，后者会更为复杂，所以我们还需要对我们类比结论进行证明。

1、外心

四面体有且只有一个外接球，外接球的球心为四面体的外心，外心到四面体的四个顶点的距离都相等，证明如下：

准备知识：

（1）、过一线段的中点，垂直于该线段的平面叫做这条线段的中垂面，中垂面上任意一点到线段两端点的距离相等。（证明略）。

（2）、不共面的三条直线，若每一条都与另两条相交，那么，这三条直线必共点。