解一道网红小学几何题

本文解一道网红小学几何题，适合初中学历读者。

问题

如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 A 为圆心 AD 为半径画得 BD 弧，以 BC 为直径在正方形内画得半圆，求 BD 弧与半圆相交所得阴影部分的面积。

---

方法一：几何方法

如图，弧 BD 交半圆于 E，取 BC 中点 O，连接 AE, AO, OE。

由于 BC 为半圆直径，则 O 为圆心。注意到 AB = AE, OB = OE，AO 为公共边，因此我们有

令

，则

根据扇形面积的计算公式可知，扇形 ABE 面积为

扇形 OBE 面积为

四边形 ABOE 的面积为

那么阴影面积为

---

方法二：解析方法

如图，以 B 为原点，BC 为

轴正方向建立平面直角坐标系。为了书写方便，令

那么有

弧 BD 的方程为

半圆 BC 的方程为

联立两个方程可解得 E 坐标为 (0.8, 0.4)。

先计算扇形上的弧 BE 与

轴所围的面积

，如下图

令

得

再计算半圆上的弧 BE 与

轴围成的面积

，如下图

令

得

那么阴影部分面积为