竞赛讲义(八)——平面向量 / 四六文摘

高中数学讲义（八）──平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数

0，使得a=

定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为

，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos

=|a|·|b|cos\u003Ca, b>，也称内积，其中|b|cos

叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，

1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，

2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，

3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=

(a, b

0),

4. a//b

x1y2=x2y1, a

x1x2+y1y2=0.

定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使

，λ叫P分

所成的比，若O为平面内任意一点，则

。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则

定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=

个单位得到图形

，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到

上对应的点为

，则

称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】因为|a|2·|b|2-|a·b|2=

-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

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