第16招：移宫换羽-可转化为其它类型函数的三角函数最值问题
第16招：移宫换羽 - 可转化为其它类型函数的三角函数最值问题
在三角函数求最值命题中,有一部分题是利用整体思想借用基本初等三角函数图像求的,还有一部分利用换元思想与二次函数单调性问题解决,再有一部分利用函数性质与导数法,不同于以往前两种常规的方法,给人一种“移宫换羽”的感觉。
四种常见形式:
四种基本方法:
(1)辅助型:形如
的形式,再求值域(最值);
说明:在对“辅助角型”,利用整体思想(
)借用基本初等三角函数图像的单调性一看便知.;
(2)二次型:
,化为关于
的二次函数,再求值域(最值);
(3)和积型:形如
的三角函数,可设
,化为关于
的二次函数,再求值域(最值);
(4)导数型:形如
的三角函数,涉及导数法或不等式法等,再求值域(最值)。
运用上述方法,把三角函数最值问题转化为其它类型的函数最值问题,可见有“移宫换羽”之功效。
（2018全国1卷理）已知函数
,则
的最小值是_______.
【答案】
【解析】解法一:因为
,所以
是
的一个周期,不妨取区间
进行分析。
由
解得
或
当
在
上变化时,
的变化情况如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
递增 |
极大值 |
递减 |
递减 |
极小值 |
递增 |
由表可知函数
在
上的极小值即为函数
在定义域上的最小值,所以
。
说明:由题意可知
是
的一个周期,问题转化为
在
上的最小值,利用求导数计算极值与端点值,比较可得。
点评:本题考查三角函数周期与恒等变换,涉及导数求函数在区间上的最值。考查学生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算。
解法二:利用
的奇偶性,把
的最值问题转化为
的最值问题。
因为
,所以
为奇函数
又因为
,
所以
,令
则
的最值点与
的最值点相同。
下面解法同解法一(略)
解法三:把奇函数
的最值问题转化为
的最值问题,再利用换元及高次函数求导法。
同方法二的奇函数
,
所以
设
,则
所以
当
当
所以当
;当
,
即
,所以
,所以
解法四:利用
,四元基本不等式求最值。
同上得奇函数
,
所以
当且仅当
即
时取等号,
所以
,所以
.
所以
得最小值为
1.(2019长沙质检)函数
的值域为__________
2.在锐角
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,且
.
(1)求角
;
(2)求
的取值范围.
3.(2020年全国新课标Ⅱ.21—(1)(2))已知函数
，
(1)讨论
在区间
的单调性;
(2)证明:
;