第5招：按图索骥-数形结合解零点问题

第5招：按图索骥 - 数形结合解零点问题

零点的定义:一般地,对于函数

,我们把方程

的实数根

称为函数

的零点.

函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系:

例如:设函数为

,则

的零点即为满足方程

的根,若

,则方程可转变为

,即方程的根在坐标系中为

交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到.

由此看来,函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化,在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化.

(3)两函数的交点:

工具:数形结合

作用:前两个主要是代数运算与变形,而将方程转化为函数交点,是将抽象的代数运算转变为图形特征,是数形结合的体现。通过图像可清楚的数出交点的个数(即零点,根的个数)或者确定参数的取值范围。

缺点:数形结合能否解题,一方面受制于利用方程所构造的函数(故当方程含参时,通常进行参变分离,其目的在于若含

的函数可作出图像,那么因为另外一个只含参数的图像为直线,所以便于观察),另一方面取决于作图的精确度,所以会涉及到一个构造函数的技巧,以及作图时速度与精度的平衡.

在高中阶段主要考察三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理,(2)二次方程根分布问题,(3)数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中第(3)个类型常要用到函数零点,方程,与图像交点的转化,请通过例题体会如何利用方程构造出函数,进而通过图像解决问题的.

(2018·天津卷理科14)已知

,函数

.若关于

的方程

恰有2个互异的实数解,则

的取值范围是_________.

【答案】见解析

【解析】当

时,由

得

,得

,得

,得

,设

,则

,由

得

,此时递增,由

得

,此时递减,即当

时,

取得极小值为

;

当

时,由

,得

,得

,当

时,方程不成立;当

时,

;设

,则

;由

,此时递增,由

或

,此时递减,即当

时,

取极小值为

,要使

恰有2个互异的实数解,由图象知

,故答案为:

1.(原创)设函数

,若关于

的方程

在

上恰有两个相异实根,则实数

的取值范围是__________

2.(原创)已知函数

是定义在

上的偶函数,当

时,

,则函数

的零点个数为( )

A.4

B.6

C.8

D.10

3.已知定义在

上的函数

满足

,当

时,

,其中

,若方程

恰有三个不同的实数根,则实数

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.