不动点法求数列的通项

若数列

满足

，

，如何求数列

的通项公式呢？这里介绍两种方法给大家做对比。

一、常数消去法

常规方法来讲，此类问题毫无例外地要变形为

的形式，但如何变形确实是不容易看出。这里通过平移变换，给出一定的思路。

设平移变换

，则

，

，变形后可得

令

，设

为该方程的一个根，则

故而

由此就化为了

的形式，按照这种形式求通项的方法求即可。

这种方法想法很清晰，但如何拆分成

的形式却不容易。

二、不动点法

若f(t)=t，则称t为函数f(x)的不动点。

设函数

，若数列

满足递推关系

，即

，给定初始值

，接下来我们就可以利用函数f(x)的不动点来求解数列

的通项公式。

下面求函数f(x)的不动点。

设

，即

，化简可得

，我们可以发现这个方程就是常数消去法中出现的那个方程。

Th1.若函数f(x)有两个不同的不动点p、q，即方程

有两个不等的实数根p、q，则数列

是以

为首项，

为公比的等比数列。

证明：因为p是方程

的根，所以

所以

同理可得

两式相除即得

即数列

是以

为首项，

为公比的等比数列。

Th2. 若函数f(x)只有唯一的不动点p，即方程

有两个相等等的实数根p，则数列

是以

为首项，

为公差的等差数列。

证明：同Th1得

所以

因为方程

有两个相等等的实数根p，所以可得

代入可得

即数列

是以

为首项，

为公差的等差数列。

以上给出了不动点法由分式形式的递推公式推导数列通项公式的方法。下面再给出两种形式，大家可以自行证明。

Th3. 若函数

有两个不动点p、q，即方程

有两个不同的根为p、q，则有

Th4. 若函数

只有唯一一个不动点p，即方程

有两个相等的根p，则有数列

是以

为首项，1/2为公比的等比数列。

Th5. 函数f(x)=ax+b，a≠0，且a≠1，p为函数f(x)的不动点，数列

给定初始值

且满足递推关系

，则数列

是以

为首项，a为公比的等比数列。

上一组练习题，给大家练练手。

Ex1、已知数列

中，

，求数列

的通项公式。

Ex2、已知数列

中，

，求数列

的通项公式。