压缩感知技术（CS,Compressed Sensing）因其能够大幅度提升MRI采集效率、降低采集时间而被大家所知，但它究竟是如何实现在尽量保证图像真实信息的情况下实现成像速度提升的呢？带着好奇、疑问和期待，让我们一起来学习压缩感知在MRI中的工作机制。介绍CS之前，我们先来观察两张图片，如下图所示，左图为原始图像：15MB；右图为该图片的JPEG格式：150KB。尽管两幅图像的存储空间大小相差百倍，但肉眼几乎察觉不到两幅图像的在细节上的差异，也就是说该图像是可以被压缩的。那么，如果图像数据可以被压缩，是不是说明在传感器端采集的信息过多呢？受此启发，我们再来回顾一下传统的MRI采样过程。采集的信号被存放在一个虚拟的K空间中，为了保证经过DFT变换重建出来的图像不失真，在频率和相位方向上必须同时满足Nyquist采样定理，即：采样频率应不低于模拟信号频谱中最高频率的2倍，即fs≥2fmax。一般来说，采集的信号越多，所花费的采集时间越久。但是，如此高的信号采样对于图像重建来说是否是绝对必要的呢？我们能不能用另一种方法采集数据，即只采集压缩后的对我们的视觉“感知”有作用的数据呢？ 答案是肯定的，也就是压缩感知技术CS。因此，可以说对于可压缩数据而言，Nyquist采样定理是信号重建的充分而不必要条件。压缩感知是由美籍华人科学家陶哲轩等提出的一个全新的采样理论，通过利用信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性迭代算法进行图像重建。通俗的说，可以在仅仅采集少量数据的同时，保持良好的图像质量。理论很简单，实施起来难度很大。虽然数据是可以被压缩的，但是我们该怎么去“感知”它？如果一开始只采集少量的数据，那应该怎么采集？用什么方式进行采集？采集完之后如何重建出不失真的图像？这就涉及到压缩感知理论的三个核心要素。1、不相干性信号欠采样；2、稀疏变换；3、非线性迭代重建。值得注意的是，我们不能简单的理解1、2、3的序号代表这三个要素工作的先后顺序，实际上它们是相互影响甚至是同步进行的。接下来，我们逐一介绍：在压缩感知CS理论中，对MR信号进行随机欠采样，以保证其不相干性。其论证过程涉及过多种信号处理算法，在此不做具体介绍，可参见：DonohoD L. Compressed sensing 2005。如下图所示，分别表示不同的采样原则对图像重建的影响。(a)完全采样：可重建出完整图像；(b)中心采样：可显示图像对比度信息；(c)并行采集（规律性欠采样）：图像出现由于并行采集导致的卷褶伪影；(d)随机欠采样：重建出图像的同时出现类似噪声的伪影。
考虑到k空间能量分布的不均匀性：K空间中心的能量高度集中，由中心向k空间四周快速衰减.在随机采样中，并不会进行一个完全均匀随机分布的采样(f)，而是采用变化密度随机采样(g)。这样k空间的中心采样更加密集，与k空间中的能量分布规律相符合，使得图像上的重要信号与噪声不相干，也可以说使信号和噪声的差异更显著，更易于分离。
所以对于不相干信号采样的简单理解就是为了让欠采样重建出的具有卷褶伪影的图像类似于图像噪声，在K空间采集过程中每条欠采的K空间线都不具有相干性（规律的K空间欠采将导致明显的图像卷褶伪影，如图e），同时为了保证图像的对比，K空间中心尽量多采集而边缘部分少采集。 压缩感知不相干采样数据采集的特点提示压缩感知技术的数据采集并不依赖于高通道的接收线圈，任何线圈都能够实现压缩感知的信息采集，但是多通道线圈再结合不同的并行采集算法能够进行并行采集成像，再理论上能够进一步减少K空间信息的采集。同时为了最大程度的减少采集的数据（增大加速倍数）和数据的不相干性，压缩感知的应用在三维或者更多维成像中显得更为有意义，而传统的二维成像，使用并行采集及同时多层激发已经能够实现很大的加速，利用压缩感知的数据采集的不相干性也相对较差。什么是稀疏（sparse）特性？图像稀疏性可以理解为图像上的重要信息集中在较少的像素点上表现出来，而其它的大部分像素只有很低的信号。如下图中，我们认为左图的血管图像是稀疏的，因为除血管以外的背景信号都很低。右图因大多数体素都显示了不同的信号强度而不稀疏。但其实，这个判断标准只是基于图像域的视觉评估。那么，如果我们能够换一个角度（类似像FFT一样，实现图像域到频率域的转换），图像的稀疏特性会随之发生改变吗？
实际上，稀疏变化的目的就是为了提高图像的稀疏性。稀疏变化发生在不同的空间域之间，经过变换，相关图像内容被重新“分解”，图像结构信息在这个变换域进行了重新摆列。下面我们通过一个小波变换的例子来感受一下这个过程。小波变换是一个图像的多尺度的表现，它的多分辨率分解能力可以将图像信息一层一层分解剥离开来,而剥离的手段就是通过低通和高通滤波器。如下图红色范围所示：左上角图像是图像的近似，相当于图像的低频部分(两个方向的低通滤波器)；而其它三张图是图像的轮廓，分别代表是图像水平，垂直和对角三个方向的细节，是图像的高频部分。具体地，右上角为垂直轮廓(水平方向为高通滤波器，垂直方向为低通滤波器)、左下角表示水平轮廓(垂直方向为高通滤波器，水平方向为低通滤波器)、右下角表示对角边轮廓(两个方向都是高通滤波器)。这个过程可以不断重复，图像成分也便进行了更精细地分解。如本例所示，使用2D小波变换，进行了两层分解。
经小波变换后，可得到的是原图像不同尺度小波成分及其对应的系数组合。当系数小到一定程度的时候，它所代表的结构信息，在人眼观察下已经是无足轻重了,可视为“可压缩的”的量，通过阈值将其置零，而不会丢失重要的图像内容。这样，在小波域阈值化之后原始图像的稀疏性就提升了。实际上在很多变换域上，稀疏变换性质都是成立的，比如特征值分解，有限差分、奇异值分解等。因此信号采集阶段就没有必要采集那些系数为0或者接近于0的值，相反，只采集少量非零系数，而允许一定的不确定性。然后通过稀疏模型及迭代重建算法来解决不确定性。所以稀疏变换的过程就是将经过快速傅里叶转换后的图像转换成另外一个能够区分图像稀疏信息的域，然后再经过域的过滤减少噪声。在临床应用中，最为常见的稀疏的图像是亮血血管成像，心脏电影成像以及动态增强成像等等。这些图像的表现形式是在三维或多维图像上，图像的对比强烈或者在不同的维度上图像的信号变化集中在某些区域。同时，稀疏变换的过程也是一个寻找的过程，在临床应用中如何把一幅看似不稀疏的图像变换到另外一个域中，并能区分出图像的不同稀疏特性是一项重要的挑战。对于满足稀疏性的信号，其优势在于：当信号被背景噪声干扰时，可通过阈值设置的方法来去除噪声。即:无需知晓信号在哪，只需要简单的阈值设置就可以分割绝大多数噪音信号。如下图所示：
上下两行分别表示图像信号及与之对应的频域信息。噪声图像（1）由于随机采样k空间造成了类似噪声的混叠伪影，且其分布较为随机；（2）利用有限差分变换提高图像的稀疏性，使得图像信号和噪声信号分离；（3）阈值化，即：将所有低于阈值水平(红线)的系数设置为0。（4）当图像再次被转换回其原始域后，噪声信号被去除。
由上例可知，通过稀疏变换和阈值去噪的方法可获得较好的图像质量，为什么还要进行迭代重建？实际上，上例属于理想中的一种情况，体模本身有非常高的信号，并且远远高于噪声值。因此只需要通过很简单的一个设定阈值的步骤就可实现噪声去除。而在实际的临床应用当中，会有些解剖位置本身信噪比较低，如果只是简单的用一个设定阈值的步骤去噪的话，就会造成这些解剖位置本身的真实信号被当成噪声一起去掉，进而影响最终图像的真实性。为了避免这种情况的发生，需要使用迭代重建。它的作用就是在确保重建图像与真实数据之间的一致性的同时，最大程度去除噪声。迭代函数如下所示：
由上式可知，该函数包括两部分：数据一致性和变换稀疏性。数据的一致性是指重建后的图像的K空间数据与原始采集的K空间数据必须保证在一定的范围之内，以确保重建图像的准确性；而变换的稀疏性是指重建后的图像的稀疏性，在进行迭代重建之前的图像由于不相干采集导致的图像类噪声的伪影，使得图像的稀疏性较低，而经过迭代重建后，需要提高图像的稀疏性以提高图像的信噪比，但同时也可能损失图像细节而导致数据一致性的降低。所以迭代重建的过程就是在二者之间找到平衡。其流程如下图所示；
通过非相干欠采样得到K空间，①经过傅里叶变换重建出一幅图像，但这个图像存在类似噪音的混叠伪影。②为了去噪，需进行稀疏变换，并通过设置阈值的方法来去除噪声(即混叠伪影)。但是这样，尽管噪声去除了，却牺牲了数据与测量k-空间y的一致性。③通过比较(去噪)图像的对应的k空间和测量k空间来检查数据的一致性，得到一个差异K空间。④使用FFT从这个“差异k空间”计算一个“差异图像”。最后，将“差异图像”叠加到原来的图像中作为校正，并更新图像。经此过程后，数据一致性增加了，但其稀疏性却降低了。实际上，迭代重建就是不断地重复“以数据一致性为代价增加稀疏性”和“以稀疏性为代价增加数据一致性”的交替过程。每次迭代都将改进总结果，当最后满足最优化函数的最小条件时，也就是认为我们数据采样造成的信号的稀疏性非常好，且实际采样取得的K空间数据和重建出来的图像反FFT得到的K空间数据之间的差值最小时，迭代重建才终止。通过上述的非线性迭代重建可知，通过压缩感知加速技术获得的图像质量取决于对数据一致性以及变换稀疏性阈值的设定，当阈值设定不合理时，可能出现获得的图像信噪比特别高，但是图像缺乏细节而不适用于临床应用的情况，所以目前不同公司压缩感知成像算法的应用都需要进行大量的临床验证以找到最佳的保持数据一致性又能够提升图像信噪比的阈值，而该阈值的设定与扫描序列，参数，临床应用场景等都息息相关。下图中右侧图像信噪比非常高，但是缺乏组织对比，并不能应用于临床诊断。
综上，压缩感知是在低于Nyquist 采样率的条件下进行变化密度随机采样，实现加速扫描的同时保证了图像成分之间的不相干性，使其混叠伪影类似于噪声。为了提升其稀疏性从而去除噪声，需进行稀疏变换，即在某一空间域实现稀疏，并通过阈值设置去除噪声。在实际的临床图像应用中，信号分布更为复杂，简单的稀疏变换和阈值化并不能同时保证噪声去除和图像的真实性。因此，需重复进行稀疏变换（去噪）和确认数据一致性的迭代过程，在二者之间找到平衡，最终实现高信噪比的图像重建。
Donoho D L . Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4):1289-1306.
