选自《解析几何高观点、新视野》
一、无理数出现和对严谨性的追求把古希腊研究逼向了几何
古希腊的毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比——即万物皆数。当希帕苏斯发现正方形的对角线与边之比，即发现了 2，否定了毕达哥拉斯学派的信条，相传被扔进了海里。欧多克斯引入了变量（或简称量）这个概念，它不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间连续变动的东西来处理无理数问题，这就把古希腊数学的重点颠倒了过来。早期毕达哥拉斯学派肯定是重视数，把它当着基本概念的，现在虽把几何搞得能够处理无理数，为不可公度比（不能表达为整数比）提供了逻辑依据，使希腊数学大大推进了几何学，但也因此真弃了真正的代数和无理数，把数同几何截然分开。欧几里德的《几何原本》把一些公认的事实列成定义和公理，通过演绎的方式推出一系列定理，形成了一个严密的逻辑体系，成为公理化方法建立起来的典范，也为科学的构建提供了范例。传承其精髓，发扬光大，形成一座思想的高峰，让质疑有价值、批判切中要害，要走出自己的路是一件极其不容易的事情。
二、对《几何原本》中第五公设的质疑
证明里面有些遗漏和错误，但真正质疑有价值的是对第五公设（若以直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无线延长后必相交于该侧的一点，即现在的过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。）的质疑，欧几里德无疑知道，任何这样的公理都不免或明或暗地要提到无限远空间所必然出现的事情，而关于无限远空间所必然成立的事项的任何说法，它的具体意义是含糊不清的，因为人的经验是有限的，然而他也认识到这样的公理不能省掉，为了避免直接说出两条直线无论怎么延长都不相交，于是就采取了这样一种说法，提出两直线能交于有限远处的条件。更有甚者，他在求助这一公理以前先证明了所有无需它来证的定理。非欧几何的历史，开始努力消除对欧几里德平行公理的怀疑，从古希腊时代到 1800 年间有两种研究途径：一种是用更为自明的公理来代替平行公理；另一种是试图从欧几里德的其他九个公理推导出平行公理来，如果证明这一点，平行公理将成为定理，也就无可怀疑了、、、、、、
三、对方法的质疑——解析几何
笛卡尔断定方法的重要性，并断定数学可以有效地应用到科学上去，他就把方法应用到几何。在这里，他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识，就组成联合力量。他对于下述事实深感不安：欧几里德的每一个证明，总是要求某种新的、往往是奇巧的想法，他明白地批判希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖于图形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情况下，去练习理解力。”他对当时通行的代数也加以批评，说它是完全受法则和公式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术，而不像一门改进思想的科学。”他因此主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相取长补短。事实上，他着手开发的，是把代数用到几何上去，他完全看到代数的力量，看到它在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性，以及它把推理程序机械化和把解题工作量减小的价值，他看到代数具有作为一门普遍科学方法的潜力、、、、、、笛卡尔把代数提高到重要地位，其意义远远超过他对几何作图问题的洞察和分类，这个关键思想使人们能够认识典型的几何问题并且能够把在几何形式上互不相关的问题归在一起，代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。不仅可解性问题和作图可能性问题，能够从平行于几何的代数来漂亮、迅速、完全地决定，而且离开代数，决定就成为不可能的了。因此，体系和结构就从几何转移到代数。物理问题的探索不可避免地要导致去寻求关于曲线和曲面的更多知识，因为运动物体经过的路径都是曲线，而物体本身则是由曲面界著的三维体。早已热衷于坐标几何的方法和微积分的力量的数学家们曾经用这两个主要工具研究过几何问题，在已经建立起来的坐标几何领域以及把微积分应用到几何问题中去建立的新领域——微分几何方面，在 18 世纪得到了令人难忘的结果。詹姆斯·西尔维斯特说：几何看来有时候要领先于分析，但事实上，几何的先行于分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的。
四、对解析几何和古希腊几何法的质疑——射影几何
在笛卡尔和费马引进解析几何学以后的百余年里，代数的和分析的方法通知了几何学，几乎排除了综合的方法。受德萨格和帕斯卡的影响，拉伊尔用综合法几乎全部证明了阿波罗尼斯的 364 个关于圆锥曲线的定理，他打算以此表明投射法比阿波罗尼斯的方法高明，也比当时解析方法优越。沙勒引用了完全是分析学家的拉格朗日为证，当遇到天体力学中一个很难的问题时， 60岁的拉格朗日说：虽然分析学也许比旧的几何学的方法要优越，但是在有一些问题中，后者却显得更优越，部分是由于其内在的清晰，部分是由于解法的优美平易，甚至还有一些问题，代数的分析有点不够用，似乎只有综合的方法才能制服，拉格朗日举出的例证是旋转椭球体对其表面或内部一点（单位质量）的引力这个很难的问题，这个问题曾被马克劳林用纯粹综合的方法解决过。沙勒还摘引了比利时天文学家兼统计学家凯特尔给他的信，凯特尔说：“我们大多数年轻数学家这么轻视纯粹几何学，是不恰当的，年轻人嫌其方法具有普遍性，他问道，这究竟是几何学的过错还是研究几何学的人的过错呢？” 为了克服缺乏普遍性，沙勒向未来的几何学家提出两条守则。他们应当把特殊的定理推广为最普遍的（同时还是最简单而自然的）结果。其次，他们不应该满足于一个结果的证明，如果他不是一个一般方法或所从属的学说的一部分。什么叫找到一个定理的真正基础呢？他说，总有一个主要的真理的，人们会认出它来，因为别的定理都将通过简单的变换或作为容易的推论而从它得出。作为知识的基础的伟大的真理总具有简单和直观的特色。首先，一个真正的问题是，到底解析几何学是不是几何学？因为方法和结果的实质都是代数，它们的几何意义都是隐蔽的。此外，正像沙勒所指出的，分析学以其形式过程全部略去了几何学所不断采取的小步骤，分析学的快速而且也许是渗透的步伐不显露已经完成了的事情的意义。起点与最终结果之间的联系是不清楚的。沙勒问道：“在一门科学的哲理性的、基础性的研究中，光知道某件事情是对的却不知道它为什么对、不知道它在所属的真理系列中处于什么地位，这难道够吗？”纯粹几何学的学说往往会给出，而在许多问题中会给出一个简单而自然的办法来洞察诸真理的来源，去揭露那链接它们的神秘链索，去使它们独特地、明白地、完全地被认识。彭赛列深信纯粹几何学的独立性和重要性，虽然他承认分析学的威力，但他相信能够赋予综合几何学以同样的威力。他说：解析方法的威力不在于运用代数而在于它的普遍性，这个优越性产生于这样的事实：从一个典型的图形发现的度量性质，对于由这个典型的或基本的图形派生出来的所有图形都仍然适用，顶多改变一下正负号。这种普遍性在综合几何学里能由连续性原理得到保证。彭赛列是充分认识到射影几何学具有独特方法和目标的新数学分支的第一位数学家， 17世纪的射影几何学家讨论特殊问题，而彭赛列却考虑一般问题，探索几何图形在任一投影的所有截影所共有的那些性质，即在投影和截影下保持不变的性质，彭赛列也考虑一个空间图形到另一个空间图形的射影变换。
彭赛列的工作以三个观念为中心。
第一个是射影的图形，运用透射图形的方法是，对于一个给定的图形，找一个比较简单的透射的图形，研究后者以找出它在投射与截影下不变的性质，这样来获得原来那些比较复杂的图形的性质。这个方法实质上曾被德萨格和帕斯卡适用过。第二个主导观念是连续性原理，如果一个图形从另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一样的一般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性质第二个图形也有。彭赛列断定，若一个图形退化了，譬如六边形的一边趋于零而退化为五边形，则原来图形的任何性质都会转化成关于那退化图形的一个适当措辞的命题。再比方说，从椭圆变到抛物线然后变到双曲线，开普勒设想一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动。若让动点移向无限远（同时让偏心率趋于 1），椭圆就变成了抛物线；然后让那个动焦点又出现在定焦点的另一方，这时抛物线就变成双曲线。当两焦点合二为一，椭圆变成圆；当双曲线的两焦点合在一起，双曲线退化成两直线。要使以焦点从一个方向移往无穷远而又从另一个方向重新出现，开普勒就假定直线向两端无线延伸指点在无穷远处合成一点，从而赋予直线以圆的性质。虽然直观上这样看待直线并不满意，但这种思想在逻辑上是合理的。这个原理，在概括的哲学意义下，要追溯到莱布尼茨，他在 1687 年说，当两件事的已知条件的差能变得任意地小时，其结果的差别也能变得小于任意给定的量。第三个主导观念是关于圆锥曲线的极点与极线的概念，彭赛列研究研究圆锥曲线配极的目的之一是要建立对偶原理。射影几何的研究者们曾经注意到，涉及平面图形的定理如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”重新叙述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确的，彭赛列想配极关系是其原因、、、、、、
五、近代公理法思想——公理体系的完善
欧几里得从柏拉图学派那里受到严格的逻辑思维训练。他创造性地把前人的几何知识系统地在一个逻辑框架中把全部的几何内容总结起来，这就是公理化思想的开始。欧几里得用哪个一条逻辑链条把全部几何内容串了起来，这条逻辑链条就是今天所说的“公理化体系”。逻辑链条可以表示如下：
欧几里得的《几何原本》是传播这个思想的范本，但是，用现代的观点来看《几何原本》在很多地方是有缺陷的。近代公理法的应该归功于希尔伯特，1899 年出版的《几何学基础》使几何学建立在严格的逻辑系统的基础上，希尔伯特的几何公理体系建立在基本概念和公理的基础上。所谓基本概念包括两部分，一部分是几何学的研究对象，也称为基本元素。例如点、线、面等；另一部分是这些元素之间的关系，称为基本关系。例如结合、顺序、合同等。基本元素和基本关系构成了基本概念，每个概念本来都应给予定义，定义就是指出概念的属性。但是定义一个概念不可避免地会用到已定义过的概念。这样一来，势必有些概念不可能找到已定义过的概念来给它下定义。由此可知，任何一个几何体系，都必须有若干个基本概念，它们是不再加以定义的概念。我们要求每个命题都要根据方法给予严格的证明，每个证明必须以已证明过的命题为根据，那么势必有若干基本命题，不可能给出逻辑的证明，这些基本命题就叫公理。概括起来，若干个基本概念（包括基本元素和基本关系）和若干条公理，叫做一个公理体系，构成一种几何的基础。全部元素的集构成这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念必须给出定义，每个命题都必须给出证明，这就是公理法思想。公理体系是不能任意给定的，它必须满足下列三条要求：相容性、独立性和完备性。
六、变换群与几何学——对立、统一、联系
一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群与几何学联系起来给几何学以新的定义，这种用变换群来研究几何学的观点是由德国数学家克莱因于 1872 年在德国埃尔朗根大学所作题为“近世几何学研究的比较评论”的报告中首先提出来的，历史上称为埃尔朗根纲领。一百多年来数学的发展说明了克莱因用变换群刻画几何学的观点在近代几何领域起了很大作用，它使各种几何学化为统一的形式，因而得到对立事物的某种统一，同时又明确了各种几何所研究的对象；它给出了一般抽象空间所对应几何学的一种方法，建立了多种几何学，如代数几何、保形几何及拓扑学等，克莱因的观点支配了从他以来近半个世纪所有几何学的研究。克莱因用群论的观点给出几何学的定义，不但一般地指出了各种几何学研究的范围，而且还有助于我们弄清楚它们之间的联系，一般地，变换群越大，则它所对应的几何学研究的对象就越少，因为一个变换群所包含的变换越多，则对于所有这些变换图形的不变性质与不变量就越少，而适应的范围却越广。越小的子群它所对应的子几何内容越丰富。
