中考数学压轴题分析：图形的翻折问题

图形的变化是初中几何的要点，本文内容选自2020年新疆中考数学压轴题，涉及图形的旋转与折叠，难度中等偏上，大家可以好好看一下。

【中考真题】

（2020·新疆）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到△，设点的纵坐标为．
①当△在内部时，求的取值范围；
②是否存在点，使，若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．

【分析】

题（1）求解析式需要代入顶点A与点B的坐标。点B是旋转90°得到的，可以构造三垂直得到点B的坐标，坐标为（3，－1）。代入顶点式即可得到抛物线的解析式。

题（2）①要去△A′MN在△OAB的内部，也就是说点A不能出现的点C的下方，那么点C就是一个临界点。当P为AC的中点时，点P为最低点，求出此时点P的坐标即可。而点C的坐标则，还需根据相似得到。

题（2）②中△A′MN与△OA′B的形状大小一直在变化，因此需要根据点P表示出两个三角形的面积才可以建立等量关系。

本题需要分两种情况讨论，如下图，点P在x轴上方时，△AMN的面积与△A′MN的面积相等，只需根据相似求出MN的长度，则不难表示其面积。而△OA′B的面积则需要采用割补法。

当点P在x轴下方时，情况类似，但是图形发生变化，方法是一致的。

【答案】解：（1）抛物线的顶点是，
抛物线的解析式为，
绕点顺时针旋转后得到，
，
把代入可得，
抛物线的解析式为，即，

（2）①如图1中，连接，．
，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
由题意，
．

②当点在轴上方时，直线的解析式为，直线的解析式为，