模态之两自由度理论与CAE

在上一期分享了单自由度无阻尼振动系统的理论解与CAE模型结果的对比，通过对单自由度系统进行分析，发现CAE在辅助验证理论解的问题上十分便捷，且让工程人员对理解更加深刻。这一期我们再进一步对多自由度中的两自由度振动系统进行理论分析及求解，同样采用CAE建模并得到计算结果，这时会出现什么样的情况呢，我们一起来看。

一、理论分析

一个振动系统通常由三要素组成，分别是质量，刚度，阻尼；假设某一振动系统的数学模型可以表述如下：

图1 两自由度振动系统数学模型

通过振动系统的数学模型，可以写出该系统的运动方程（力平衡给出方程）为：

图2 两自由度振动系统运动方程

对上述运动方程进行转换可得：

图3 两自由度振动系统运动方程矩阵形式

根据振动相关理论，特征值问题可转换成求以下问题；

图4 特征值问题转换方程

可解方程得到以下两个根，分别为：

图5 特征值方程根

假设该系统的质量m1=m2=1.0kg，k1=k2=100N/mm，阻尼c=5.0N/(mm/s)，则计算得到该系统的固有频率分别为：

图6 特征值方程根求解

二、CAE分析

根据该振动系统数学模型，在Hypermesh界面建立该振动模型如下所示：

图7 CAE振动模型

图8 CAE计算结果

通过CAE计算，得到该系统的固有频率分别为31.11Hz和81.43Hz，由理论公式计算得到固有频率分别为31.12Hz和81.48Hz，即理论与CAE相吻合。

三、小结

通过对多自由度中的两自由度进行理论模型与CAE模型的两种解的结果对比，CAE与理论一致，实际CAE软件计算原理也是基于理论得来，并不足为奇，但对于CAE的从业人员来说，将理论与仿真相结合，或许加深了理论的理解，理论是枯燥乏味，但其意义对仿真人员来说非常重要。