从数学到数学化再到数学育人——弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》读书笔记之六

第十二章  数概念从直观方法到算法化和推理化的发展

1.数的概念的发展阶段：直观的运算——算法的运算——代数的运算——整体的组织（域）——从属于数学体系

2.直观算术之计数：继续数数——加法，来回数数——减法，几个一数——乘法……韦恩图妨害了计数学习。

3.数系是用位值逻辑地建造起来的。

4.有一个趋势，具体有形的操作对象被纸上的图形符号代替。

昱见：个人以为操作实物与图形符号有所区别，后者是前者与抽象形式之间的一种过渡，这是皮亚杰告诉我而被我接纳的。两者是不可以相互替代的。

5.乘法学习中，划归成加法，强调矩形模型，矩形的结构化。分数乘法用矩形模型更加直观。图像是一种直观形象方法。速度乘时间得到路程的矩形。

昱见：速度时间路程的运算关系，我们习惯于用线段图，而非矩形图，这样更直观。

6.竭力提倡直观，又谨防任何夸大。

7.除法是一种高度直观的运算。等分除（分配除法）与包含除（比的除法）是不一样的直观。

8.数学的特征是把同构的步骤归纳为抽象模式。

9.儿童掌握极化概念常有困难，比如分清左右。时间是一个自然强加于人的极化概念。上下，人类所有种族在书写材料上的定向惊人一致，我们都把靠近自己的一方定为下。

昱见：对于书写上的“上下”规定，属于我们习见的有趣知识，常常被我们忽略，这样的常识其实并非我们习惯的那样理所当然，而仅仅是一种约定，或者因我们的视觉习惯而起。那么左右的约定呢？似乎更加随机。很多概念是从“命名”开始获得意义的，一个逻辑学家，一个思想家，甚至一个科学家，不会对语言学轻视或抗拒。

10.数轴不能体现位值制，所以对于算法计算无能为力。但是数轴是一种可长久使用的工具，它用于数学的三种方式：一是作为尺的解释（实体解释），二是坐标解释，零点单位方向任意标出，三是算子解释。

11.图象表示函数不仅是一种形象化的直观工具，也是一种解题工具。

12.随着计算机的推广，心算、笔算的技巧无疑将会削弱，这没有什么好遗憾的。

昱见：弗赖登塔尔对待计算机（非自动化，非电子，我没有见过，也没有搜到）的态度值得敬佩，这与他“关键是技术”的观念一脉相承，他主张积极应用的态度是一种健康的大气的疏导和利用的态度，相信假如他活到今天，面对学校和教师禁止学生使用计算器或智能手机的做法一定不满意，他一定同样会主张想出好的对策，设计一些有利于数学学习的应用，既然都是工具，禁止不是好办法，利用和掌握才是。

13.当一个问题可以用代数方法解，就不必再要求学生用算术方法。直观方法是准数学水平，应该引导学生逻辑分析自己的活动。从算术想代数的过渡不宜过早也不宜太迟。算术背景下的分数教学是教学法的一大失败，应该在代数里处理分数。看一个例子：



昱见：读到此，真正的困点来了！我现在的状况是有怀疑有未知，总之就是不确定，我看到的只是一连串个问号——算术解法的学习意义真的如此不堪吗？国内已经反复讨论的算术方法的思维训练价值也是微不足道吗？或者算术方法的过多使用是不是成为一种累赘？就如过多的练习已经成为应试教育下的弊病一样？更进一步，直观方法在数学中真的如此缺乏地位吗？还是有着比我们认识到的大得多的作用？这种作用不仅仅是教学上的，更是数学上的，数学不能没有抽象，数学也不能没有直观，是吗？

14.算术之所以薄弱常常由于对数的概念有一种顽固的直观看法。思维活动中的直观成分应该逐渐下降，这并非说明直观没有用。直观方法可能有效，但不够。应该及时退出直观方法，而强调推理的方法。

昱见：啊！没有矛盾，我的怀疑源于没有及时读到后文！断章取疑了！当然，直观是为完成“数学化”服务的，直观是一种过程一种方法一种路径一种思想，有时候也是一种创新的方法。

15.归纳外推法可以作为数轴的生动补充，用来教学负数。可以看一下例子：



16.算术教学开始于应用，又回到应用。算术教学在教学和应用上都很成功。而代数和几何教学却因脱离现实而学了不用。

17.抽象常常伴随着形成体系，于是会排斥一切不符合体系的东西，这是危险的。

昱见：数学的特性与教学的特性会有不相容的矛盾，对待系统化的态度是其中之一。