R语言非参数模型厘定保险费率:局部回归、广义相加模型GAM、样条回归

原文链接: http://tecdat.cn/?p=14121

本文将分析了几种用于制定保险费率的平滑技术。

  • 保费没有细分

该价格应与纯溢价相关,而纯溢价与频率成正比,因为

没有协变量,预期频率应为

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-0.5033  -0.3719  -0.2588  -0.1376  13.2700

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  -2.6201     0.0228  -114.9   <2e-16 ***
\-\-\-
Signif. codes:  0 '***’ 0.001 '**’ 0.01 '*’ 0.05 '.’ 0.1 ' ’ 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

Null deviance: 12680  on 49999  degrees of freedom
Residual deviance: 12680  on 49999  degrees of freedom
AIC: 16353

Number of Fisher Scoring iterations: 6
> exp(coefficients(regglm0))
(Intercept) 
 0.07279295

因此,如果我们不想考虑到潜在的异质性,通常将其

视为百分比,即概率,因为

可以解释为没有索赔的可能性。让我们将其可视化为驾驶员年龄的函数,
  > plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12))

> segments(a\[k\],yp1\[k\],a\[k\],yp2\[k\],col="red",lwd=3)

我们确实会为所有驾驶员预测相同的频率,例如对于40岁的驾驶员,

> cat("Frequency =",yp0\[k\]," confidence interval",yp1\[k\],yp2\[k\])
Frequency = 0.07279295  confidence interval 0.07611196 0.06947393

现在我们考虑一种情况,其中我们尝试考虑异质性,例如按年龄,

  • (标准)泊松回归

在(对数)泊松回归的想法是假设而不是的

,我们应该有

,其中

在这里,让我们只考虑一个解释变量,即

我们有

> plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12))
> abline(v=40,col="grey")
> lines(a,yp1,lty=2)
> lines(a,yp2,lty=2)
> points(a\[k\],yp0\[k\],pch=3,lwd=3,col="red")
> segments(a\[k\],yp1\[k\],a\[k\],yp2\[k\],col="red",lwd=3)


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R语言对巨灾风险下的再保险合同定价研究案例:广义线性模型和帕累托分布Pareto distributions分析

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对于我们40岁的驾驶员的年化索赔频率的预测现在为7.74%(比我们之前的7.28%略高)

> cat("Frequency =",yp0\[k\]," confidence interval",yp1\[k\],yp2\[k\])
Frequency = 0.07740574  confidence interval 0.08117512 0.07363636

不计算预期频率,而是计算比率

在水平蓝线上方,溢价将高于未分段的溢价,而低于此水平。在这里,年龄小于44岁的驾驶员将支付更多的费用,而年龄大于44岁的驾驶员将支付较少的费用。在引言中,我们讨论了分段的必要性。如果我们考虑两家公司,一个细分市场,而另一个细分市场持平,那么年长的司机将去第一家公司(因为保险更便宜),而年轻的司机将去第二家公司(同样,它更便宜)。问题在于,第二家公司暗中希望老司机能弥补这一风险。但是由于它们已经不存在了,所以保险价格会太便宜了,公司也会放宽资金(如果没有破产的话)。因此,公司必须使用细分技术才能生存。现在,问题在于,我们不能确定溢价的这种指数衰减是溢价随年龄变化的正确方法。一种替代方法是使用非参数技术来可视化年龄对索赔频率的_真实_影响。

  • 纯非参数模型

第一个模型可以是考虑每个年龄的保费。可以考虑将驾驶员的年龄作为回归_因素_,

> plot(a0,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12))
> abline(v=40,col="grey")

在这里,我们40岁司机的预测略低于前一个,但置信区间要大得多(因为我们关注的是投资组合中很小的一类:年龄_恰好在_ 40 岁的司机)

Frequency = 0.06686658  confidence interval 0.08750205 0.0462311

在这里,我们认为类别太小,溢价也太不稳定了:溢价将从40岁到41岁下降20%,然后从41岁到42岁上升50%。

> diff(log(yp0\[23:25\]))
        24         25 
-0.2330241  0.5223478

公司没有机会采用这种策略来确保被保险人。保费的这种_不连续性_是这里的重要问题。

  • 使用年龄段

另一种选择是考虑年龄段,从非常年轻的驾驶员到高级驾驶员。

> summary(regglmc1)

Coefficients:
                                   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)                         -1.6036     0.1741  -9.212  < 2e-16 ***
cut(ageconducteur, level1)(20,25\]   -0.4200     0.1948  -2.157   0.0310 *  
cut(ageconducteur, level1)(25,30\]   -0.9378     0.1903  -4.927 8.33e-07 ***
cut(ageconducteur, level1)(30,35\]   -1.0030     0.1869  -5.367 8.02e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(35,40\]   -1.0779     0.1866  -5.776 7.65e-09 ***
cut(ageconducteur, level1)(40,45\]   -1.0264     0.1858  -5.526 3.28e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(45,50\]   -0.9978     0.1856  -5.377 7.58e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(50,55\]   -1.0137     0.1855  -5.464 4.65e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(55,60\]   -1.2036     0.1939  -6.207 5.40e-10 ***
cut(ageconducteur, level1)(60,65\]   -1.1411     0.2008  -5.684 1.31e-08 ***
cut(ageconducteur, level1)(65,70\]   -1.2114     0.2085  -5.811 6.22e-09 ***
cut(ageconducteur, level1)(70,75\]   -1.3285     0.2210  -6.012 1.83e-09 ***
cut(ageconducteur, level1)(75,80\]   -0.9814     0.2271  -4.321 1.55e-05 ***
cut(ageconducteur, level1)(80,85\]   -1.4782     0.3371  -4.385 1.16e-05 ***
cut(ageconducteur, level1)(85,90\]   -1.2120     0.5294  -2.289   0.0221 *  
cut(ageconducteur, level1)(90,95\]   -0.9728     1.0150  -0.958   0.3379    
cut(ageconducteur, level1)(95,100\] -11.4694   144.2817  -0.079   0.9366    
\-\-\-
Signif. codes:  0 '***’ 0.001 '**’ 0.01 '*’ 0.05 '.’ 0.1 ' ’ 1

> lines(a,yp1,lty=2,type="s")
> lines(a,yp2,lty=2,type="s")

在这里,我们获得以下预测,

对于我们40岁的驾驶员来说,现在的频率为6.84%。

Frequency = 0.0684573  confidence interval 0.07766717 0.05924742

我们应该考虑其他类别,以查看预测是否对值敏感,

对于我们40岁的司机来说,得出以下值:

Frequency = 0.07050614  confidence interval 0.07980422 0.06120807

所以在这里,我们没有消除_不连续性_问题。这里的一个想法是考虑_移动区域_:如果目标是预测40岁驾驶员的频率,则应该以40为中心。而对于35岁的驾驶员,间隔应该以35为中心。

  • 移动平均

因此,考虑一些_局部_回归是很自然的,只应考虑年龄_接近_ 40 岁的驾驶员。这_几乎_与_带宽有关_。例如,介于35和45之间的驱动程序可以被认为接近40。在实践中,我们可以考虑子集函数,也可以在回归中使用权重

> value=40
> h=5

要查看发生了什么,让我们考虑一个动画,感兴趣的年龄在不断变化,

在这里,对于我们40岁的人来说,

Frequency = 0.06913391  confidence interval 0.07535564 0.06291218

我们获得了可以解释为_局部_回归的曲线。但是在这里,我们没有考虑到35没有像39那样接近40。这里的34假设与40距离很远。显然,我们可以改进该技术:可以考虑内核函数,即,越接近40,权重就越大。

> value=40
> h=5

在下面绘制

在这里,我们对40的预测是

Frequency = 0.07040464  confidence interval 0.07981521 0.06099408

这就是_核回归技术_的思想。但是,如幻灯片中所述,可以考虑其他非参数技术,例如样条函数。

  • 用样条平滑

在R中,使用样条函数很简单(某种程度上比内核平滑器简单得多)

> library(splines)

现在对我们40岁司机的预测是

Frequency = 0.06928169  confidence interval 0.07397124 0.06459215

请注意,此技术与另一类_模型有关_,即所谓的广义相加模型,即GAM。

该预测与我们上面获得的预测非常接近(主要区别在于非常老的驾驶员)

Frequency = 0.06912683  confidence interval 0.07501663 0.06323702

  • 不同模型的比较

无论哪种方式,所有这些模型都是有效的。所以也许我们应该比较它们,

在上图中,我们可以可视化这9个模型的预测上限和下限。水平线是不考虑异质性的预测值。


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