以题为载体，激发学生的数学思考！

有兴趣的同学可以自行先尝试着做一做，答案是72/37

初拿到这道题，我也觉得挺复杂的，毕竟图形线条多，所给条件少，如何下手？我的想法，要求△BPC的面积，无外乎直接求和间接求两种方式。直接求，也即想办法求出BC边上的高；间接求，也即将△BPC的面积表示为其它便于求解的图形面积的和差或是比例关系。

下面就两种方式给出我的思路，同学们可以就此思路尝试进行求解。

直接求：过点P作BC的垂线段PH，垂足为H。因为BC的长度直接勾股定理就可以求出来，我们只需要求出高PH的长度即可。如何求？思路在哪里？

单独看我们要求的三角形，事实上，这是我们在解直角三角形中经常会见到的一个图形，已知BC，如若我们知道∠PBC和∠PCB的相应三角函数（平时的练习中一般给出的是特殊角），因为BC已知，则PH就可以求出来。下一个问题就是如何求这两个角。

抛开DC、BG不看，我们又会发现这事实上是我们之前常见的一个基本图形，即有公共顶点的两个正方形，而这类基本图形常用的辅助线就是分别过点D和点G作BC的垂线段。

受此启发，我们做出相应辅助线。我们注意到根据题目条件，DB与AC是平行的，CG与AB是平行的，则∠DBI=∠ACB，∠GCJ=∠ABC，易得△ABC∽△IDB∽JCG（当然，我们不证相似，用相应角的三角函数也可求解）。由此我们可以解决DI、BI、CJ、GJ等线段的长度，进一步可在Rt△DCI和Rt△GBJ中分别求得tan∠PCB和tan∠PBC，从而用含PH的式子表示出CH和BH，而其和为BC，故而解得PH，从而本题就解决了。

上述分析中，我们把复杂的图形逐步剖离出我们常见的基本图形，这种能力是需要同学们在不断积累总结下掌握的。

间接求：在上述分析中我们发现三角形DBC的面积是比较好求的，而如果我们把CP当底，则△BPC与△DBC事实上是等高的，则其面积之比就等于CP：CD。由于AC∥ DB，易得△LPC∽△BPD，如若我们求得LC：DB，则CP：DP的值就求出来了，进一步CP：CD的值也可求出，面积也就求出来了。

为了解决这个问题，因为BD的长度是已知的，我们事实上就是要求出CL的长。求CL的长直接求不好求，我们可以先求AL的长，这个可以利用△ABL∽△FBG求得。这样问题也可求解。

上述两种思路是从纯几何角度进行分析求解，下午上课时学生却着实给了我惊喜。

一进教室，就发现黑板上学生已经把这个题目的图画的好好的（这是我事先没有要求的），看来学生们是跃跃欲试了，结果也确实证明学生们对于这个题有很好的思考。

学生们对于这个题目给了不同的思路方法，让我惊喜的是，除了之前我给出的纯几何的两种思路外，学生还给我了另一种做法。

对，你没有看错！学生以A为坐标原点，AC、AF所在直线为x、y轴建立了平面直角坐标系，将几何问题代数化。如此，点P的坐标就可以直接求解，因为我们很容易得到点B、点G、点C、点D的坐标，相应地求出直线BG、直线CD的解析式，联立即可得到。而要求三角形BPC的面积，相当于已知点P到△ABC两边的高，我们可以连接AP，用△ABC面积减去△ABP和△ACP面积即可。

学生给出的方法是几何问题代数化思想的很好体现，当然建系的方式不止这一种，但思想却是一致的，笛卡尔创造性地提出坐标平面的初衷和很大的贡献也就是将几何的问题通过代数计算来求解。学生能够给出这样的解法，确实是给了我莫大的惊喜，某种程度上讲，平时教学中数学的思想方法在学生的解题中恰到好处地得到了应用！

除了解决本题的问题外，学生还给出了关于这个图形的其他的一些思考和结论，比如：连接AP并延长，是否与BC垂直？（如果是，想想怎么证）点D、点A、点G存不存在某种位置关系？（如果有，具体是什么关系）∠DPC的度数是否是定值？（如果是，求求看是多少）AK与AL有怎样的关系？（数量关系和位置关系如何）等……数学的学习一定要激发思考，学生的这些思考都是很有益处的！