中考数学压轴题分析：全等三角形的存在性问题

【中考真题】

（2020·巴中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，为中点，点为抛物线上一动点，已知点坐标，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求点的坐标．

【分析】

题（1）还是常规的解析式问题，先根据线段长得到坐标，再代入解方程组即可。

题（2）是全等三角形的问题，已经写出具体的对应关系，其中CM与OM是对应的。因为三角形OBC是直角三角形，点M为BC的中点，根据斜边中线是斜边的一半。所以得到CM=OM。那么只需点P在∠CMO的平分线所在的直线上即可根据SAS得到全等。过点M作x轴的平行线交抛物线于两点即为所求。

题（3）是面积关系，两个系数都不为1，可以两边同时除以4，得到三角形BCP的面积是三角形ABC的面积的5/4，而三角形ABC的面积是确定的，所以三角形BCP的面积也是确定的，点P分为在直线BC的上方和下方两种情况讨论，先任意标记一个点P，设点P的坐标，然后再用割补法表示出面积即可。
【答案】解：（1），
，
又，
，，
，，
点，点，点在抛物线上，

解得：，、
抛物线解析式为：；
（2）连接，

为中点，
，
，
，，
是的垂直平分线，
轴，
点的纵坐标为1，
当时，代入，
解得：，
或，
或；
（3）
，，
，
，，
直线解析式为，
当点在上方时，如图2，过点作轴，交于点，

设点，则点，
，
，
，
点；
当点在下方时，如图3，过点作轴，交于点，

，
，
，
点或；
综上，点的坐标为：或或．