再谈几何模型

本文结合《几何明珠》(黄家礼编著，国家行政学院出版社 2014 出版)里一道著名的难题谈几何模型。这个问题就是所谓的汤普森问题，解法序号是原书里的。原解法比较简略，笔者加了一些注解。

已知：，, 。求：

针对这道题，我要说的第一点是，一道几何题往往涉及的不止是一种模型，可能需要很多种模型综合运用，才能得到结果。

解 3：

以 为边作等边 ， 交 于 。

则 (通过计算各角度数得知 和 都是等腰三角形)，因而 ，

又 ,,
所以 ，故 。

故有 ，又 ，
可知 ，故有 。

这里就用到了等边(等腰)三角形和相似三角形的结论。

其次，同一道题选取的模型不同，解法就不同。

解 9：

延长 至 ，使 ，则 为等边三角形，再在 上截取 ，则有 (通过计算角度知道 是等腰三角形，)

(前者, 后者)

得出 ，所以 ，又 (因为 ，其中 在前一解法中已经解释过)，可知 。

从而可得到 ，所以 ，所以 。