【参数化曲面】图解高等数学-下 26

13.6 参数化曲面

空间曲面定义有 3 种方式;

1. 显示: z = f(x,y)

2. 隐式: F(x,y,z) = 0

3. 参数化曲面: r(u,v) = f(u,v)i + g(u,v)j + h(u,v)k

曲面参数化

设 r(u,v) = f(u,v)i + g(u,v)j + h(u,v)k 为 uv 平面区域 R 上定义的连续向量值函数, r 值域所定义的曲面 S 如下图所示. 变量 u 和 v 为参数, R 为参数定义域.

球面的参数化

曲面面积

参数化曲面 r(u,v) = f(u,v)i + g(u,v)j + h(u,v)k 是光滑的, 如果 ru 和 rv 都连续且 ru×rv在参数化定义域内不为 0.

下面 uv 平面中的小矩形面积映射为曲面 S 上的一块小曲面面积.

应用上一节中小切平面来近似小区面面积的方法, 可以求得小平行四边形的面积为:

将其 uv 平面划分成小矩形区域, 与此相对应也会将曲面 S 剖分为小曲面面积元素 ∆σ . 所有这些小曲面面积对应的小平行四边形区域相加就是曲面 S 面积:

可以写成 dσ 简写的形式:

曲面积分

上面就曲面参数方程形式得出来求曲面面积的公式, 现在来看参数形式表示曲面上的积分了.

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