【二次函数专题三】抛物线上的线段长问题的转化与探究 / 四六文摘

专题导入

导图：平面直角标中相应线段长的计算

AM= , BM= ,AB= ,

导例：如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且CA＝CB．若抛物线y＝a（x﹣1）²+k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为　．

方法点睛

二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，或一般的斜线类线段．在知识运过程中，相应坐标差来表示相应线段长，或由勾股定理依据两点间的距离公式来计算相应斜线段长的问题是基本的操作依据．

典例精讲

类型一：平行于y轴的线段长的问题

例1．如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．

分析

（1）由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题．

类型二：可转化为线段长类的面积型问题

例2．如图，抛物线y＝x²﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x₁，0），与x轴正半轴交于点B（x₂，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x₁²+x₂²﹣x₁x₂＝13．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点Q，使得S_△ACQ＝2S_△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

分析

（1）由根与系数的关系可得x₁+x₂＝m，x₁·x₂＝﹣（m+1），代入x₁²+x₂²﹣x₁x₂＝13，求出m₁＝2，m₂＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组