【364】与轨迹和控制变量有关

今天的一节数学课，授课内容主要是两道习题，题目如下:

分析第一题，选择关键语句为点D为直线BC上一点（不与B点重合）,说明点D具有任意性。由于又存在BE=BD这种情况,所以三角形BDE为等腰直角三角形,进而产生E点的运动轨迹，和D点的运动轨迹是非常相近的。结合静止的等腰直角三角形BAC,由此产生了手拉手三角形,得到三角形ABD全等于三角形CBE,是学生最为熟悉的认知范畴。

题目的第2问，∠CAD=15度,求∠BEC的度数。

这道题的错误率非常高，究其原因，没有整体考虑D点的运动情况，也就是说，对于D点的运动轨迹还缺乏一定的认识，由此产生了知识考虑不全面的状况。

针对这道题，引领学生仍然关注关键语句——点D为直线BC上任意一点,只有充分考虑点D的任意性，才能使此题得到圆满的解答。

第3问则是此题的一个难点。非常明确地考查了P点的运动轨迹。当然，如果没有图形的形成，学生是不容易得出答案的。由于P点是三角形CAD的外心，而三角形CAD又是一个可以变化的三角形，在变化中寻找不变量则是解题的关键。不妨采用控制变量的方式，因为在三角形ACD中，线段AC是保持不变的,外心一定在线段AC的垂直平分线上,这就是P点的初步轨迹。在本题中,又要求点P在三角形ABC内部或者边上，所以说点P精确的轨迹是线段AC的垂直平分线和三角形ABC的公共部分（包括边）。由此产生了从B点作AC的垂线段，即为点P准确的运动轨迹。

第2题选自于河北省2019年第23题。从题目的已知条件来看，此题属于旋转类型的全等，三角形ABC全等于三角形ADE，通过基本图形能够判断这一点。从控制变量的方式可以假定三角形ABC保持不动，让三角形ADE绕点A旋转起来,这样就可以产生线段AD和线段BC的交点为点P的情况。选择关键语句为:点P是边AD和BC的交点（不与B点、C点重合），可以判断出点P是线段BC上不同于B点和C点的任意一点，这就是P点的运动轨迹。

第1问很容易解答。第2问，有一些搭台阶的味道，由于P点和D点都是动点,所以在表示PD的最大值时稍有难度。不妨换另一个角度，若想求PD的最大值，其实就是求AD的最小值。因为P点和D点都是动点，但A点是静止的，P点的运动轨迹就是线段BC，所以寻找AP的最小值就非常容易了，从A点做BC的垂线段即可，垂足即为符合条件的P点。通过控制变量的方式，使此题得到很好的解决。

这道题的难点仍然体现在第3问,对于临界m和n应该如何考虑？

第1种考虑方式，结合P点的任意性，让P点从B点运动到C点,可以看出∠APC从大于30度一直增长到小于120度这样一种情况。结合∠AIC和∠APC所满足的一种数量关系,可以得出m和n的值,这是一种结合P点运动轨迹所产生的效应。

在今天听课的过程中,朋友指出了另外一种解法，并指出:既然两道题选在了一起，可以选择两道题相通的地方,不妨考虑一下三角形ACP。

三角形ACP在P点整个变化过程中，不变量是线段AC和∠ACP的度数，I是三角形APC的内心，可以得出I的运动轨迹一定在∠ACP的角平分线上,结合P点运动轨迹，得出∠BAC的度数变化情况。当点P与B点重合的时候，AI是∠BAC的角平分线，此时∠CAI=45°，∠ACI=30°，可以产生AI和CI的交点，线段CI（不包括端点）是I的运动轨迹。考虑∠ACI=30°，∠IA C=45°，所以∠AIC=105°，这样可以得出m的值。随着P点向C点的运动,∠CAI的度数也由45°减少为大于0°，因为∠ACI始终等于30°，所以∠AIC小于150°，进而得出n的值。

这是一个非常优秀的解法，这个解法也明确贯彻了第1题和第2题中有关轨迹的认识和控制变量的方式。在第1道题中，三角形ACD虽然在变化，但是线段AC保持不变，它的垂直平分线是固定的。第2题中，三角形ACP发生变化，但是∠ACP的度数是没有发生改变的，其角平分线也不会变化。这就是两道题紧密的连接之处，而连接最好的关键词，就是控制变量和轨迹。

如果没有朋友的独到见解，也不会想到两道题如此神奇的联系，今天写出来，能够更加有效地提升自己，服务学生，让学生的思维也更加开阔。

这就是今天的一节课，与轨迹和控制变量有关。