最不利原则的应用
有一只布袋里有同样大小的红、绿、黄、蓝四种颜色的小玻璃球各15粒，问从中摸出多少粒，才能保证其中至少有4粒颜色相同的小玻璃球？
分析 最坏的打算是每种小玻璃球都摸出3粒，那么摸了4×3=12粒，那再摸一个，就能得到4粒颜色相同的小玻璃球，从而得出问题答案．
解答 ：此题最坏情况是每种颜色摸3粒，则无论如何下一个就会符合要求，
需要：3×4+1=13（粒）
答：从中摸出13粒，才能保证其中至少有4粒颜色相同的小玻璃球．
点评 抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数．
袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，至少有几个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．
分析：把3种不同颜色看作3个抽屉，把3种不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3+1=4（个），即需要4个小朋友摸球；
解答：3+1=4（个），
答：至少有4个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．
答：至少有4个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．
点评：此题考查了抽屉原理1的灵活应用，即：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件．
袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各15个．每个小朋友从中摸出2个小球．至少有
个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样．
分析：红、黄、蓝三种颜色，每个小朋友从中摸出2个小球，共有摸出3×2组不同颜色，（红红，红黄，红蓝，黄黄，黄蓝，蓝蓝），最差情况是有6个小朋友每人分别摸出这6组不同的颜色，再一个小朋友不论摸出六组颜色中的任何一种，都能能保证一定有两个人摸的球一样，即需要6+1=7个小朋友．
解答：3×2+1=6+1=7（种）
答：．至少有7个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样．
点评：在明确组成多少组不同颜色的基础上，根据最差原理进行分是完成本题的关键．
答：．至少有7个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样．
点评：在明确组成多少组不同颜色的基础上，根据最差原理进行分是完成本题的关键．
口袋里有同样大小的红球3个，黄球4个，篮球4个，绿球5个，小华蒙着眼睛从口袋里往外摸球，他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色？
分析：此题要从最差情况考虑：摸出5个绿球、4个黄球共9个球，只有2种颜色的球，此时再摸出任意一个都会出现3种不同颜色的球，据此即可解答．
解答： 解：5+4+1=10（个），
答：至少要摸出10个球，才能保证有3种不同颜色的球．
点评：此题考查抽屉原理的应用，注意考虑最差情况，从最极端情况分析．
盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的球各12个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出
5
个球；要想摸出4个同颜色的球，至少要摸出
13
个球．
分析：把白、红、黄、蓝四种颜色看做四个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况即可
解答：（1）考虑最差情况：摸出4个球，分别是白、红、黄、蓝不同的颜色，
那么再任意摸出1个球，一定可以保证有2个球颜色相同，4+1=5（个），
（2）考虑最差情况：摸出4×3=12个球，分别是白、红、黄、蓝不同的颜色的球各3个，那再任摸出1个球，一定可以保证有4个球颜色相同，4×3+1=13（个）
那么再任意摸出1个球，一定可以保证有2个球颜色相同，4+1=5（个），
（2）考虑最差情况：摸出4×3=12个球，分别是白、红、黄、蓝不同的颜色的球各3个，那再任摸出1个球，一定可以保证有4个球颜色相同，4×3+1=13（个）
故答案为：5；13．
盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的乒乓球各3个，要想摸出的球有2个同色的，最少要摸出（ ）个球．
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 |
分析 盒子里有同样大小的3个红球，3个黄球，3个蓝球和3个白球，最坏的情况是红、黄、蓝、白四种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出4+1=5个．
解答 解：根据题干分析可得：4+1=5（个），
答：要想摸出的球一定有2个是同色的，最少要摸出5个球．
故选：C．
口袋里有同样大小和同样质地的红,黄,蓝三种颜色的小球共18个.其中红球3个,黄球5个,篮球10个.现在一次从中任意取出N个球，为了保证这N个球中至少有5个颜色相同，N的最小值是多少?
解析：N的最小值是12
如果取11个球，而又没有5个球颜色相同，那肯定是红球3个,黄球4个,蓝球4个(因为除此
情形之外，已经有5个球颜色相同了)
这时再取一个，因为红球没有了，所以不是黄球就是篮球，也就是总有5个球颜色是相同
的了。
一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻．问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
解析：由题意，应该按如下排列，其规律是：三个座位为一个循环周期，即空座、有人座、空座；
那么15个座位正好是15÷3=5个周期；
每个周期都有1个有人座，由此即可求得在乐乐之前已就座的最少有多少人．
解答：15÷3=5（个）
答：在乐乐之前已就座的最少有5人．
答：在乐乐之前已就座的最少有5人．
一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？
分析：副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张，要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，最差情况是，其中的两种花色和2张王牌全部抽完，即抽出13+13+2=28张，还没有出现第三种花色，此时只要再任意抽出一张，即能保证抽出牌中有三种花色．第二个条件是这三种花色的牌至少都有3张，此时还剩下两种花色，如红心和方块，最差情况是，如抽出的第29张是方块，第30张是红心，第31张是方块，第32张是红心，第33张是方块，或出的第29张是方块，第30、31张是红心，第32、33张是方块，此时方块达到三种花色，所以要保证保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，最少要取33张．
解答： 解：根据最差原理可知，其中的两种花色和2张王牌全部抽完，即抽出13+13+2=28张，还没有出现第三种花色，此时只要再任意抽出一张，即能保证抽出牌中有三种花色．然后最差情况是，如抽出的第29张是方块，第30张是红心，第31张是方块，第32张是红心，第33张是方块，或出的第29张是方块，第30、31张是红心，第32、33张是方块，此时方块达到三种花色，所以要保证保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，所以至少要取：
13+13+2+1+1+1+1+1=33（张）．
答：最少要取33张，才能保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张．
13+13+2+1+1+1+1+1=33（张）．
答：最少要取33张，才能保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张．
点评：完成本题要注意要同时满足取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张这两个条件．
在一副扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有．
分析：此题应从最极端情况分析，因为每一种花色的扑克牌有13张，假设前13×3=39次都摸出前三种花色的扑克牌（即把前三种花色的牌取完），又摸2次是2张花牌，再摸1张只能是第四种花色，进而得出结论．
解答：13×3+2+1=39+2+1=42（张）；
答：最少要拿42张，才能保证四种花色都有．
答：最少要拿42张，才能保证四种花色都有．
点评：此题做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案．
从一副扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能确保有5张牌是同样花色？（大、小王两张牌也算一种花色）
分析：一副完整的扑克牌中，共有五种花色，红桃、黑桃、方片，梅花各13张，大王、小王两张，保证至少5张牌的花色相同，最坏的情况是，抽出牌的18张牌中，红桃、黑桃、方片，梅花各4张，王、小王两张，此时只要再任意抽一张，就能保证至少5张牌的花色相同，即18+1=19张．
解答：4×4+2+1=16+2+1=19（张）；
答：至少抽出19张牌，才能确保有5张牌是同样花色．
答：至少抽出19张牌，才能确保有5张牌是同样花色．
点评：在了解扑克牌组成结构的基础上，根据最坏原理进行分析是完成本题的关键．
一副扑克牌有54张，至少抽出7张，才能保证至少有2张牌花色相同；至少要抽取16张牌，才能保证其中至少有2张牌有相同的点数．
分析 （1）从最极端情况分析，因为每一色的牌有13张，假设前4次抽取的是四种不同的颜色的牌；再抽2张是大小鬼，再抽取1次一定能保证有2张花色相同，进行分析进而得出结论．
（2）建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54-2）÷4=13，所以一共有13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．
解答 解：（1）4+2+1=7（张），
答：至少抽出7张，才能保证至少有2张牌花色相同．
（2）13+2+1=16（张），
答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数．
故答案为：7，16．
点评 此类问题关键是根据点数特点，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况．
一个口袋中有50个编着号码的相同的小球，其中标号为1，2，3，4，5的各有l0个．
（1）至少要取出多少个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球？
（2）至少要取出多少个，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？
（3）最少要取出多少个，才能保证有5个不同号码的小球？
分析：（1）从最坏情况考虑，假如前面取的5个小球分别是1、2、3、4、5号球各一个，然后你再取任意一个球，都能和前面相对应一个球号码组成两个号码相同的小球，所以至少要取（5+1=6）个小球．
（2）从最坏情况考虑，假如前面取的15个球中，1，2，3，4，5号各3个，此时只要再任意取一个球就能得到4个不同号码的小球，所以至少要取5×3+1个小球．
（3）从最坏情况考虑，假如前面取的假如前面取的10个1号球，10个2号球，10个3号球，10个4号球，然后你再取任意一个球，就取到5个不同号码的小球，至少要取（10×4+1=41）个小球，才能保证有5个不同号码的小球．
（2）从最坏情况考虑，假如前面取的15个球中，1，2，3，4，5号各3个，此时只要再任意取一个球就能得到4个不同号码的小球，所以至少要取5×3+1个小球．
（3）从最坏情况考虑，假如前面取的假如前面取的10个1号球，10个2号球，10个3号球，10个4号球，然后你再取任意一个球，就取到5个不同号码的小球，至少要取（10×4+1=41）个小球，才能保证有5个不同号码的小球．
解答：解：（1）5+1=6（个）．
答：至少要取出6个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球．
答：至少要取出6个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球．
（2）5×3+1=16（个）．
答：至少要取出16个，才能保证其中至少有4个号码相同的小球．
（3）10×4+1=41（个）．
答：至少要取出41个，才能保证其中至少有4个号码不同的小球．
点评：根据最坏原理进行分析是完成此类题目的关键．
一个口袋中有50个编着号码的相同的小球，其中标号为1，2，3，4，5的各有l0个．
（1）至少要取出多少个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球？
（2）至少要取出多少个，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？
（3）最少要取出多少个，才能保证有5个不同号码的小球？
（1）至少要取出多少个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球？
（2）至少要取出多少个，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？
（3）最少要取出多少个，才能保证有5个不同号码的小球？
1）5+1=6（个）．
答：至少要取出6个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球．
答：至少要取出6个，才能保证其中至少有2个号码相同的小球．
（2）5×3+1=16（个）．
答：至少要取出16个，才能保证其中至少有4个号码相同的小球．
（3）10×4+1=41（个）．
答：至少要取出41个，才能保证其中至少有4个号码不同的小球．
若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克．今有载重量为1.5吨的汽车．至少需要
13
辆车，才能把这些箱货物一次全部运走．
分析：汽车的载重量是1.5吨，如果每箱的重量是300千克（或1500的小于353的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.5吨货物．这是最有利的情况，此时需要汽车 19.5÷1.5=13（辆）． 如果装箱的情况不能使汽车满载，那么13辆汽车就不能把这批货物一次运走．为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑．最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多．因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱．每箱300千克，每车能装5箱．如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了．此时，每车载重 301×4=1204（千克），空载1500-1204=296（千克）．19500÷1204=16…236，也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后余236千克，因为每辆车空载296千克，所以余下的236千克可以装在任意一辆车中． 综上所述，16辆车可确保将这批货物一次运走．
解答：解：19.5吨=19500千克，1.5吨=1500千克．
最有利情况，每箱货物的重量能被1500千克整除，则每辆车都能满载：
需要：19.5÷1.5=13（辆）．
最不利情况，每量车都不能满载，则空载量最大：
因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱，每箱300千克，每车能装5箱．
如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了．
则每车载重 301×4=1204（千克），
空载1500-1204=296（千克）．
19500÷1204=16…236，
即19.5吨货物按最不利的情况，装16车后余236千克，
因为每辆车空载296千克，所以余下的236千克可以装在任意一辆车中．
答：至少需要16辆车才能把这些箱货物一次全部运走．
故答案为：13．
最有利情况，每箱货物的重量能被1500千克整除，则每辆车都能满载：
需要：19.5÷1.5=13（辆）．
最不利情况，每量车都不能满载，则空载量最大：
因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱，每箱300千克，每车能装5箱．
如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了．
则每车载重 301×4=1204（千克），
空载1500-1204=296（千克）．
19500÷1204=16…236，
即19.5吨货物按最不利的情况，装16车后余236千克，
因为每辆车空载296千克，所以余下的236千克可以装在任意一辆车中．
答：至少需要16辆车才能把这些箱货物一次全部运走．
故答案为：13．
点评：完成本题要注意由于是成箱的货物，不能散装，所以不能直按 19.5÷1.5=13（辆）来求得．
若干箱同种规格的货物总重19.5吨，不知道每箱的具体重量是多少千克，只知道重量数是大于250且小于400的整数．那么至少要派多少辆载重量为1.6吨的汽车，才能保证将全部货物一次运走？
分析：为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑．最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多．
解答：解：19.5吨=19500千克，1.6吨=1600千克；
汽车的载重量是1.6吨．如果每箱的重量是320千克（或1600的小于400的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.6吨货物．这是最有利的情况，此时需要汽车19.5÷1.6≈12（辆）．如果装箱的情况不能使汽车满载，那么12辆汽车就不能把这批货物一次运走．为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑．最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多．因为400×4=1600，所以每辆车至少装4箱．每箱320千克，每车能装5箱．如果每箱比320千克略多一点，比如321千克，那么每车就只能装4箱了．此时，每车载重321×4=1284（千克），空载1600-1284=316（千克）．注意，这就是前面所说的“最不利的情况”． 19500÷1284=15（辆）…240（千克），也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装15车后余240千克，因为每辆车空载316千克，所以余下的240千克可以装在任意一辆车中．
综上所述，15辆车可确保将这批货物一次运走．
汽车的载重量是1.6吨．如果每箱的重量是320千克（或1600的小于400的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.6吨货物．这是最有利的情况，此时需要汽车19.5÷1.6≈12（辆）．如果装箱的情况不能使汽车满载，那么12辆汽车就不能把这批货物一次运走．为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑．最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多．因为400×4=1600，所以每辆车至少装4箱．每箱320千克，每车能装5箱．如果每箱比320千克略多一点，比如321千克，那么每车就只能装4箱了．此时，每车载重321×4=1284（千克），空载1600-1284=316（千克）．注意，这就是前面所说的“最不利的情况”． 19500÷1284=15（辆）…240（千克），也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装15车后余240千克，因为每辆车空载316千克，所以余下的240千克可以装在任意一辆车中．
综上所述，15辆车可确保将这批货物一次运走．
点评：本题是利用典型最不利问题去解决实际装箱问题，关键是为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑即空载最多．
从1至2011中任取若干个数，并且保证其中任意5个数之和都是15的倍数，最多可以取出
个数．
分析：任意5个数之和都是15的倍数，则每个数被15除余数相同（保证是5的倍数）且每个数字能被3整除，也就是说，这些数被15除余数可以是0，3，6，9，12；由此进行解答即可．
解答： 解：被15除余0的一组数，其个数为2011÷15≈134（个），
余3的一组数，个数为：（2011-3）÷15≈133（个），
余6的一组数，个数为（2011-6）÷15≈133（个），
余9的一组数，个数为（2011-9）÷15≈133（个），
余12的一组数，个数为（2011-12）÷15≈133（个），
所以最多可以取出134个数；
答：最多可以取出134个数；
故答案为：134．
余3的一组数，个数为：（2011-3）÷15≈133（个），
余6的一组数，个数为（2011-6）÷15≈133（个），
余9的一组数，个数为（2011-9）÷15≈133（个），
余12的一组数，个数为（2011-12）÷15≈133（个），
所以最多可以取出134个数；
答：最多可以取出134个数；
故答案为：134．
点评：明确保证其中任意5个数之和都是15的倍数，即这些被15除余数可以是0，3，6，9，12，是解答此题的关键．
从1、2、3、…、50这五十个数中，取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出______个数．
把这50个数按除7的余数划分为7类0，1，2，3，4，5，6；
除7，余1的1，8，15，22，29，36，43，50；
除7，余2的2，9，16，23，30，37，44；
除7，余3的3，10，17，24，31，38，45；
除7，余4的4，11，18，25，31，38，45；
除7，余5的5，12，19，26，33，40，47；
除7，余6的6，13，20，27，24，31，38，45；
以及整除的7，14，21，28，35，42，49；
将被7除余1，余2，余3的三组数全部取出，它们之中任意两个数的和都不能被7整除，
还可以从能被7整除的一组中任取1个数，与上述取出的数任意一个数的和也不能被7整除，
所以最多可取出8+7×2+1=23个数
除7，余1的1，8，15，22，29，36，43，50；
除7，余2的2，9，16，23，30，37，44；
除7，余3的3，10，17，24，31，38，45；
除7，余4的4，11，18，25，31，38，45；
除7，余5的5，12，19，26，33，40，47；
除7，余6的6，13，20，27，24，31，38，45；
以及整除的7，14，21，28，35，42，49；
将被7除余1，余2，余3的三组数全部取出，它们之中任意两个数的和都不能被7整除，
还可以从能被7整除的一组中任取1个数，与上述取出的数任意一个数的和也不能被7整除，
所以最多可取出8+7×2+1=23个数
两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红．白．蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？
从第一袋拿出最少要4个，可以保证至少有两个颜色一样的球。不妨设是白球拿了两个，红蓝各拿了一个，现在二袋中有5红，5蓝，6白，一袋中有3红3蓝2白
现在从二袋中拿球保证至少有一个白球就可以保证一袋每种颜色球都不少于3个。
二袋5红，5蓝，6白，保证至少拿到一个白球，最少要拿11个，即刚好是5红，5蓝，1白。
这样最后一袋有12-4+11=19球
二袋12+4-11=5球
现在从二袋中拿球保证至少有一个白球就可以保证一袋每种颜色球都不少于3个。
二袋5红，5蓝，6白，保证至少拿到一个白球，最少要拿11个，即刚好是5红，5蓝，1白。
这样最后一袋有12-4+11=19球
二袋12+4-11=5球
要把61个乒乓球分装在若干乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个盒子。证明:至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。
4*1+4*2+4*3+4*4+4*5=4*(1+2+3+4+5)=60
以上是极限情况。都是四个盒子乒乓球数相同。再增添一个时就至少5个盒子中的乒乓球数目相同
以上是极限情况。都是四个盒子乒乓球数相同。再增添一个时就至少5个盒子中的乒乓球数目相同
一列火车有18节车厢，甲乙丙三人从各自的车厢向车尾走去，甲经过10节车厢，丙经过15节车厢，3人都经过的车厢至少多少节？
解：这道题就是3条线的重合问题
需要注意一点：3人都到达车尾只是一种特殊情况，但并不是最终答案！
走得最多的肯定重合最多，不用考虑，故是甲和乙的重合问题。
当甲的起点为车头，乙的终点为车尾时，他们的重合最短
故 3人都经过的车厢为：10+12-18=4节
需要注意一点：3人都到达车尾只是一种特殊情况，但并不是最终答案！
走得最多的肯定重合最多，不用考虑，故是甲和乙的重合问题。
当甲的起点为车头，乙的终点为车尾时，他们的重合最短
故 3人都经过的车厢为：10+12-18=4节
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