中升高：一道几何证明题

这道题是在能力提升区找的一道题，原本以为很难，至少需要研究几分钟，没想到一分钟之内就看出来了，不过这道题所用的知识点还是不少的，就是不知道九年级同学们能不能快速解答出来呢？

首先分析题目，就一个内接四边形，和一条平行线，一条切线，没啥条件了，然而结论让证明线段相等，这个可以说是一个坑，毕竟线段相等肯定会让同学们想到等腰三角形或者全等，但是这道题中大家能找到全等吗？或者说能看出哪个是等腰三角形吗？可能有同学会说我们连接EG，既然要证明EF=FG，那么它肯定是等腰三角形，谁不想让它是等腰三角形呀？问题是怎么得到等腰呢，如果两个底角相等肯定不可能根据题上的这些条件得到，所以肯定要两个边相等，但那就是题中的结论了，绕一大圈毫无卵用。所以，千万不要局限自己的思维。

我们来分析一下条件，平行线可以得到内错角相等，∠CEF=∠C，

切线FG貌似构不成直角三角形，即使连接圆心和切点，也没有任何用处，所以切线肯定不是这么用的，

切线除了这个用法，不是还有一个切割线定理吗？

所以FG²=FB·FA，

那么只要有EF²=FB·FA不就OK了吗？

这就明摆着需要三角形相似了，刚好△EBF和△AEF有一个公共角，但是缺少一个条件，

这个时候咱们回过头来看原本的那条平行线，不是内错角相等吗？

∠CEF=∠C，但是我们需要∠CEF=∠EAF，

那么看图，∠EAF是四边形的外角，内接四边形一个角的外角不是等于这个角的对角吗？

所以∠EAF=∠C，

那么就有∠CEF=∠EAF成立了，

现在条件充足，三角形可以相似了，

从而得到FB：EF=EF：FA，转化一下就是EF²=FA·FB，

模样不是和FG²=FB·FA一样吗？等号右边相同，所以等号左边相等，

那么FG=EF成立。