中考数学：二次函数-常见压轴题型

开始前先来点题外话，昨天有学生问我：“老师，我马上九年级了，现在努力还来得及吗？”我的回答是：“如果你现在不努力，这辈子都会来不及。但是如果你从现在开始努力，或许达不到你从一开始就努力到最后的成就，但是绝对会比你现在这种状态的结果要强上几十倍。更何况在你努力的过程中，说不定还会遇到各种学习的窍门，难道这些不会成为你的surprise吗？”

学习这件事从来就没有来不及一说，当自己在反思自己的学习时，已经说明了自己已有醒悟，那么这个时候要做的仅仅是坚定自己的信念，不要去考虑最后的结果如何，因为结果肯定比你想的要好，就如同一场比赛一般，如果你从上场就开始问自己会不会赢，那你觉得自己会赢吗？

所以，将结果先放一边，只要认认真真去做，最好的结果当然是你会成功，但是，即使是最差的结果，你也会比现在提高很多个层次。

学习并不是为了考试的一个成绩，考试是为了证明你的能力、你的努力，当你走出校园的那天，你会发现原来自己曾经努力学习掌握到的技巧和能力居然能让自己的工作和生活更加美好。

而此刻，你只需要去努力学习，超越自我，不要犹豫，just do it！

今天这道题显得就比较基础了，不过也是同学们平时比较常见的压轴题内容，三角形问题。

（1）抛物线已经给了解析式，那么顶点坐标可以得到，结合直线解析式得到B、C的坐标即可；

（2）这一问证明90°角，显然是让大家利用勾股定理。

有了A、B、C三点的坐标，那么根据坐标间的线段距离公式可以得到AB、AC、BC的长度，然后利用勾股定理证明出AB²+BC²=AC²即可得到∠ABC=90°；

那么有没有其他方法呢？

显然要借助一些高中的知识内容，斜率。

我们可以想象一下线段AB和x轴构成的夹角的正切值如何计算，很明显从点A作x轴的垂线，然后利用垂线的长度除以垂足到B的距离，显然这样就很麻烦了。

那么，我们可以这样做，垂线的长度其实就是点A和点B的纵坐标之差，而垂足和B的距离其实就是A、B的横坐标之差，那么我们直接利用两点的横纵坐标之差来求出∠OBA的正切值就行了；

然后tan∠OBC怎么得到？

同样的方法，利用B、C的纵坐标之差除以横坐标之差即可。

最终得到tan∠OBA和tan∠OBC，二者互为倒数，根据互余角的性质可知互余的两个角的正切值互为倒数，所以∠OBA+∠OBC=90°，即∠ABC=90°；

所以，今天又给同学们引入了一个新的方法，证明两条直线垂直的方法。当然，这道题中使用这种方法显得并不比勾股定理便捷，但是如果换一个题，点A不是顶点，在二次函数上找到点A的坐标，使AB⊥BC，那么这个方法就派上用场了。毕竟勾股定理会涉及根号和平方，所以有能力的同学可以多研究一下，在真正考试的时候如果不需要写过程，这就是快速求解途径。

（3）三角形面积最大问题，根据老师以往说的同一方法，直线平移法解决即可；

对直线BC进行平移，假设平移后的解析式为y=x+b，

那么平移到与抛物线只有一个交点的时候，不就是距离BC最远的那个点吗？（如果还有同学问如果BC往下平移也形成一个交点怎么办？那么可以自己在纸上画一画看看）

建立方程x+b=-x²+2x，整理方程得到x²-x+b=0，使判别式△=0，得到b的值；然后重新代入方程中，解出x，那么x就是点P的横坐标。

再将点P的横坐标代入抛物线或者平移后的直线求出纵坐标即可；

不过这道题没让求出面积最大值，如果让求出最大值，同学们现在可以自行解决了吗？

还是再给出求面积最大值的方法吧！

得到了点P的坐标，就可以计算出直线PC的解析式，然后找到其与x轴的交点的坐标，我们假设为D，那么BD就把△PBC分成了上下两部分，这下就可以解决了吧？

当然也可以利用点到直线的距离公式计算点P到直线BC的距离，但是高中才学到，所以就不给同学们提供了，虽然可以利用三角函数给大家推导出来，但是大多数同学无法理解掌握，所以老老实实用图形分割法吧。

今天这道题我们重新回顾了三角形面积最大时点的坐标的求法，同时也学习了运用三角函数求解直线垂直的方法，相信同学们肯定会有所收获。

挑战压轴题内容已推送30篇以上，由于压轴题的解析过程文字编写比较耗费时间，所以将不再持续推送，改为每周末推送一次压轴题分享。其他时间的推送将改为普通数学、物理、化学和英语方面的分享。

而已分享的压轴题内容已包含多种类别的题型，且老师已为同学们提供了常用的分析方法和解答思路，且后续仍会每周分享一次压轴题，相信已经可以满足大多数同学们应对中考数学的压轴题需求。