每周中考题：数学竞赛题

如图，已知D为锐角△ABC内部的一个点，使得∠ADB=∠ACB+90°，且AC·BD=AD·BC，

（1）有比例式，那么首先就会想到相似，

那么再看∠ADB=∠ACB+90°，根据这个条件，先构造出来一组相等的角，

如图，过点D作DE⊥AD，且DE=AE，连接AE和BE，

那么△ADE为等腰直角，而∠BDE=∠ACB，

根据AC·BD=AD·BC，

可得AC：AD=BC：BD，

而AD=DE，

则AC：DE=BC：BD，夹角相等，

△ACB∽△EBD，

那么AB：BE=BC：BD=AC：DE

同时∠DBE=∠ABC，

所以∠ABE=∠DBC，

而AB：BE=BC：BD，

所以△ABE∽△CBD，

那么AE：CD=BE：BC=AB：BC，

则AB·CD=AE·BC=√2AD·BC=√2AC·BD，

所以比值可得；

（2）要证明两个切线垂直，那么要从角来入手了，

如图，橙色圆为△BCD的外接圆，红色圆为△ACD的外接圆，

注意CD同时为两个圆的弦，切线就不给同学们画了，自己动手吧，

那么∠CBD=橙色圆的弦切角，

∠CAD=红色圆的弦切角，

如果∠CBD+∠CAD=90°，

那么就可以搞定了，

所以接下来就是证明∠CBD+∠CAD=90°，

首先要想想看如何让它俩凑到一块去，

根据第一问的方法，我们不妨过B作BD的垂线，

如图，BF⊥BD，并且延长AD交BF于F，连接CF（不连也行），

为什么要延长AD呢，

根据∠ADB为90°＋一个锐角，可由三角形的外角构造相等的角，那么

根据∠ADB=90°+∠AFB=90°+∠ACB，

可得∠ACB=∠AFB，

同时BC和AF构成对顶角相等，

那么∠CAF=∠CBF，

∴∠CAD+∠CBD=90°成立，

那么结论可得；