导数与三角函数的强强联姻——一个日益兴起的命题亮点！！！

转自公众号：数学第六感

高中数学由于导数的引入，使得研究函数单调性和最值的方法更加丰富。三角函数也是函数，当然也可以借助导数来研究三角函数问题。对于三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值问题、含参问题或者相关综合性问题，借助导数进行研究能更充分地考查数学思想方法，运算求解能力，综合应变与解题调控能力，也能很好地彰显考生解题方法的灵活性，多样性与独创性，从而备受命题者的青睐。不少高考试题和高三综合试题均在三角函数和导数交汇处进行命题，以下举例说明。

命题点一

借助导数研究三角函数的单调性,奇偶性,对称性问题

角度一：单调性

题目涉及到三角函数在某个区间上单调，求参数的取值范围。可以利用导数与单调性的关系进行求解。若f(x)在(a，b)上单调递增，则f'(x)≥0；若f(x)在(a，b)上单调递减，则f'(x)≤0

角度二：奇偶性问题

可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数。

角度三：对称性问题

三角函数的重要特征之一为：当x=x₀为对称轴时，函数值取到最大值或者最小值。结合图像不难发现此时函数在最高点或最低点处的切线斜率为0，则f'(x₀)=0

命题点二

借助导数求三角函数的最值问题

试题借助导数考查三角函数的单调性，进而求出最值。

命题点三

借助导数求三角函数的极值点问题

试题结合三角函数的图象与性质，紧扣极值点的概念进行求解。要求对极值点的概念有深刻的认识。

命题点四

借助导数求三角函数的零点问题

借助导数考查三角函数的零点问题,经常与零点存在性定理一起使用，证明在某个区间内存在唯一零点。

命题点五

借助导数求三角函数的交点问题

以三角函数和直线方程为载体，借助导数研究问题，综合性较强，凸显多思少算。

不难发现，以三角函数为载体，融合函数、导数、不等式等重要知识点于一体，是此类试题的一大特色，充分体现数学知识本质联系，突出考查函数的性质、导数、不等式等知识及数学思想方法的灵活应用。这类题目能够较好地考查学生运算求解能力，推理论证能力，数学核心素养，具有很好的启智功能，导向功能。