中考数学压轴题分析：折叠与几何求值问题

本文内容选自2021年襄阳中考数学几何压轴题。题目以折叠为背景，考查几何求值问题。设计巧妙，值得探究。

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【中考真题】

（2021·襄阳）在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．
（1）特例发现
如图1，当，落在直线上时．
①求证：；
②填空：的值为 　　；
（2）类比探究
如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用
在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．

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【分析】

（1）①根据翻折得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余进行转化。

②通过证明全等得到结论。

（2）根据（1）中证明角度相等的思路证明两个角相等，再加上条件中的一组角相等，进而得到相似，利用相似三角形的性质可以得到结论。

（3）在（2）的基础上面，可以得到AF与BE垂直，根据相似可以得到CG与AD垂直。那么根据比例关系即可得到所有边的比例关系。进而可以得到AG与CE是相等的。那么再根据比例关系，可以得到CG、EB与EH的长度。那么结论就不难求了。本题的关键还是怎么证明∠AGC为直角的问题。
【答案】解（1）①如图1，延长交于，
由折叠知，，
，
，
；

②由①知，，
，
，
，
，
，
，
故答案为1．

（2）如图2，延长交于，
由（1）①知，，
，
，
；

（3）由折叠知，，，
点是的中点，
，
是的中位线，
，
，，，
由（2）知，，
，，
，
设，则，，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
或（舍，
即．