挖掘知识本质 构建内在模型 ——“烙饼问题”的教学实践与思考
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大家好！我是徐杏干，来自浙江省乐清市虹桥镇第一小学，是朱乐平名师工作站“一课研究”第4小组的成员，很高兴再次与您相遇。
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本期内容有哪些
听一听：《 对模型思想的认识》
读一读：挖掘知识本质 构建内在模型
——“烙饼问题”的教学实践与思考
笑一笑：白赚了一公里的路
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对模型思想的认识
——摘自《小学数学与数学思想方法》
（王永春 著）
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挖掘知识本质 构建内在模型
——“烙饼问题”的教学实践与思考
【课前思考：许多教师认为让学生计算出烙不同饼数所需要的时间就是本课的教学目标，再根据所得出的时间让学生来发现计算烙饼时间的公式：烙饼总时间=饼数×2÷每锅一次可烙饼的数量×烙每面饼所需时间，更有一些教师得出了这样的公式：烙饼总时间=饼数×烙每面饼所需时间。那么这样的公式具有普遍的应用价值吗？得出这些公式之后学生就能熟练地解决所有的“烙饼问题”吗？答案显然是否定的，因为只要情境信息一改变，学生的计算就会出现错误。比如更改条件:一个锅最多能烙3张饼，那么利用“饼数×烙每面饼的时间”还能成立吗？再比如更改烙每面所需的时间：烙正面需要2分钟时间，烙反面需要1分钟，那么利用“烙饼总时间=饼数×2÷每锅一次可烙饼的数量×烙每面饼所需时间”还能成立吗？显然是不对的。基于上述思考，笔者认为“烙饼问题”作为数学广角中培养学生优化思维方式的内容，在教学中，不能只把目光停留在计算时间上，而应该把重点放在“烙饼”的“烙”上，如何“烙”才是合理的，才是节省时间的。“烙”是关键，而节省时间则是合理烙法的一种检验手段。所以笔者尝试以每个锅最多烙2张饼为模型，拓展到每个锅烙3张饼、4张饼……使得单一模型的聚集形成烙饼问题的内在模型。】
教学设计
一、情境引入
师：同学们，今天我们一起来研究烙饼问题。
出示主题图，收集信息，理解题意。
师：请仔细观察，从这幅主题图中你得到了哪些数学信息？
提问1：两面都要烙，每面3分钟，是什么意思？
提问2：每次只能烙两张饼，又是什么意思？
二、探究新知
师：怎样烙才能让3人尽快吃上饼呢？你认为最少需要多少时间？动手试试看。
学生动手探究，完成表格，展示学生作品（图1）。
师：观察一下，烙2张饼需要多长时间？是怎么烙的？
生：先烙2张饼的正面，再烙2张饼的反面，6分钟完成。
师：烙1张饼怎么也用6分钟，这是为什么？
生：1张饼，正面要3分钟，反面也要3分钟，所以也是6分钟。
师：你觉得怎样烙浪费时间，怎样烙节省时间？
生：2张饼同时烙节省时间，单独1张烙浪费时间。
师：你认为时间节省在什么地方？
生：2张同时烙能充分地利用锅的空间，就等于在节省时间。
【思考：在“烙饼问题”的教学中，我们发现大多数老师都是从烙1个饼开始，然后问为什么烙一个饼是6分钟，烙2个饼也是6分钟，接着重点教学3张饼的烙饼。然而笔者对教材深入解读后，发现教学应该直接从烙3个饼开始。因为在烙3张饼的过程中就出现了2张饼同时烙和只烙1张饼两种不同的情况，随后笔者顺势而为，在烙3张饼的过程中比较了前2张和后1张饼的相同与不同。这样的教学过程紧紧地以教材为依托，合理地利用了教材的情境，巧妙地把3张饼拆分成2张饼和1张饼，并加以对比研究，使得学生的认识更合乎生活实际。在这个过程中，学生充分比较了烙2张饼和1张饼的相同与不同，理解了只有充分利用锅的空间才能更合理地节省时间，在比较中学生感受到优化思想。】
出示两个学生不同的作品（见图2）。
师：刚才同学烙3张饼需要12分钟，而这个同学同样是烙3张饼，怎么只用了9分钟，他是怎么烙的？
指名学生回答。
师：比较一下，两种烙法有哪些不同？
生：第一种烙法第三、四次锅里有一个位置一直空着，而第二种烙法锅总是满的。
师：要想烙的时间少，必须合理、充分利用锅的空间，使锅不能空闲。两种烙法又有什么共同的地方呢？
生：都烙了6个面。
师：按理说，一共要烙6个面，每次要烙2个面，3次就能搞定啊，为什么第一种方法要4次呢？
教师引导学生得出：第一、二次都能同时烙2个面，而第三次不能同时烙3号饼的正、反两面，所以需要12分钟（见图3）。
师：所以要想每次都烙2个面，哪一次的烙法最关键？
生：第二次最关键，只有把2反换成3正，就不会使第三次出现只烙3号饼了（见图4）。
师：请你利用9分钟的方法，重新把3张饼烙一下。
【思考：本节课的教学重点是利用学具动手操作尝试探索烙3张饼的规律，因此，要基于学生的活动经验，让他们经历“3张饼”烙法的优化过程。在这个环节中，通过两个表格的对比，学生不难发现烙3张饼9分钟和12分钟的烙法关键取决于第二次的烙法。9分钟的烙法更合理地利用锅的空间，而12分钟的烙法没有更好地利用锅的空间而造成时间浪费。为此，教师要进一步挖掘知识背后的本源，让学生真正理解优化的本质。在这个过程中，笔者合理地利用图例，通过连线的方法让学生直观地发现6个面的不同组合直接影响到第三次究竟能烙1个面还是能烙2个面。而造成第三次烙饼方法不同的根本原因就是第二次烙饼时的选择，在第一次都选择了1号饼和2号饼的正面后，如果第二次依旧选择1号饼和2号饼的反面，势必造成第三次只能烙1个面。所以烙3张饼的关键就是第二次的烙法，要换2号饼为3号饼，这就是“交替烙”的由来。通过这样对比分析、追本溯源的教学，学生对于优化的本质有了新的认识，学生进一步掌握了数学思想。】
师：刚才我们研究了3张饼的烙法以及所需的时间，那么“烙4张饼至少需要多少时间？”你认为还需要研究吗？
生：不需要再研究了，2张2张烙，烙了4次，要12分钟。
师：你认为哪些数量的饼也不需要研究？
生：4张、6张、8张、10张……饼数是双数的，都可以2张2张地烙。
师：饼数是单数呢？需要研究吗？
生：可以先用交替烙法，再2张2张地烙。
学生举出：5=3+2，7=3+2+2，9=3+2+2+2……
三、拓展延伸
师：如果一个锅最多能烙3张饼，想想看，哪些数量的饼也不需要研究？
生：3张、6张、9张、12张、15张……
师：为什么呢？
生：只要3张3张烙就可以了。
师：哪些数量的饼是需要研究呢？
生：4张饼需要研究，7张饼就可以看成4+3，10张饼可以看成4+3+3……。
生：5张饼需要研究，8张饼就可以看成5+3，11张饼可以看成5+3+3……。
师：如果一个锅最多能烙4张饼呢，哪些数量的饼不用研究？
生：4张、8张、12张、16张……。
师：哪些数量的饼又需要研究呢？
生1：5张、6张、7张需要研究。
生2：饼的张数除以4，余数为1、2、3的需要研究，即5、6、7张饼需要研究。
【思考：在每个锅最多烙2张饼的前提下，学生不难得出：当饼数为双数时，则分成几个2进行同时烙；当饼数为单数时，则先是将1个3交替烙，再几个2进行同时烙。这时笔者以一个锅最多烙2张饼为模型，拓展到一个锅一次最多烙3张饼或一次最多烙4张饼。当学生学习最多烙3张饼时，3倍数不做研究，只要重点研究4张饼和5张饼的情况，最后得出其它饼数的烙法。在活动过程中，让学生体会到：如果一个锅最多能烙3张饼，只要把饼数拆分成若干个3，或4加若干个3，或5加若干个3。当然，一个锅最多能烙4张饼，也可以采用与此相同的方法得到。这样把对“烙饼问题”的理解转化到对数的分解，从而将学习内容上升到数学思维层面。】
四、全课总结
师：今天我们是怎么学习的？你有什么收获呢？
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笑一笑：白赚了一公里的路
普通的公交车从起点站到终点站收费2元。某日，一人在途中等公交，迟迟不见公交开来，就往起点站方向走去，走了一公里左右终于碰到开来的公交车，上车后他自言自语地说：“今天真划算，同样的2元钱可以坐这么久，我白赚了一公里的路。”
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：陈爱华 张赛娜