那些看似高大上，实际不过如此的数学问题！
一
方程.a^3＋b^4＝c^5是否存在正整数解？并给出证明。
答：有。证明：a＝2^8，b＝2^6，c＝2^5。
二
求证：当n为奇数时，用n-3条对角线将正n边形分为n-2个三角形，则至多只有一个三角形是锐角三角形。
证明：作出正n边形的外接圆，这个外接圆的圆心也就成了所有三角形公共的外心。这个外心一定位于某个三角形的内部，它就是唯一的那个锐角三角形；落在三角形边上时，没有锐角三角形。
三
因为a，b，c两两互质，所以存在k使z为整数。
嘿嘿，暴力构造就是简单！
四
你们上面说的那些“非常容易证明”，对于我这种外行来说一点都不“非常容易”啊啊……
我来一个：
证：
一眼可知 ，所以两问皆成立。
证毕。
五
（1）证明：存在无理数a、b，使得a的b次方是有理数。
六
七
七桥问题：
这道闻名遐迩的哥尼斯堡七桥问题是18世纪著名古典数学问题之一。
这七桥如果放在今天绝对是网红，当时每天散步过桥已经成为当地市民非常热门且有趣的一项消遣活动。但在相当长的时间里，没有人能解出来。
这些每天散步过桥的市民当中，很可能有哥德巴赫和康德。
喜欢纯粹理性批判，和欧拉一样是独眼（欧拉为什么变成独眼参见本章末尾）的康德一生都在哥尼斯堡度过，对他而言，学术乃是生活中第一大事，余皆庸常。他一生都风雨无阻的坚持散步。
欧拉的空间观（空间是“非经验的”与“真实的”心灵涌现）让康德深受启发，他的著名哲学概念“直观空间”就此生根发芽。康德的处女作要先恭敬地寄给欧拉过目，希望能从这位权威那里得到些自信，并附言：“只有欧拉做出了评价，康德才会对自己的作品'有几分敬重’。”
哥德巴赫也是哥尼斯堡的儿子，在还没有微信和QQ的日子里，他喜欢和欧拉远程聊天（写信），聊着聊着就聊出了著名的哥德巴赫猜想。
这么经典的哥尼斯堡七桥难题就是被当年仅仅29岁的欧拉圆满解决了，他的论文《哥尼斯堡七桥》顺手就开创了数学新一分支---图论。
欧拉巧妙的将过桥难题转化等同为上面图中的一笔画问题，很快他就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，让无数人烧脑、试图发现的不重复的路线，根本就不存在。
一个号称最烧脑且困扰无数人的难题，居然就是这样的无解答案。
在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，得到欧拉回路关系：
要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：1. 图形必须是连通的。2. 图中的“奇点”个数是0或2。（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点）
记住这两点，一笔画对你而言就是小儿科了。比如说“田”字不能一笔画，而“口”字和“串”字就可以一笔画：
大道至简，欧拉硬是天才地把一道著名古典数学难题简化成一道小学生习题，并写进了小学课本，叫做“七桥问题”。
七桥问题是图论的第一个问题，但是图论中最著名、出成果最多的问题是四色问题：“是否能做到 只用四种颜色就能为所有地图染色，使得任意两个相邻的区域不同色？”
四色问题出人意料地异常困难。到目前为止，100多年过去了，还只能靠计算机验证证明。
四色定理是第一个主要由计算机验证成立的著名数学定理。
从小学生习题入门，到非常困难的四色问题，图论发展迅速，应用广泛，甚至成为计算机科学中最重要、最有趣的领域之一。图论广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。
普遍认为欧拉是图论的创始人，他也因而被广泛誉为“图论之父”。
特别难得的是，在解决七桥问题的前一年，1735年，欧拉得过一次几乎致命的发烧，随后三年，他的右眼近乎失明，弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”。
变身“独眼巨人”后的欧拉依然是最勤奋的天才。
八
欧几里得证明质数有无穷多个。
只用了加减乘除四则运算，是不是听起来比证明哥德巴赫猜想要容易的多？
质数的概念大家应该都知道，大于1且只能被1和它自己整除的自然数。
质数也叫素数，欧几里得用反证法证明：
假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是：2，3，5，7，11……，P。所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们假设一个数A，它是从2到P的全体素数相乘、再加上1，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
因为A是一个大于1的正整数，所以它不是素数，就是合数。
1）如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
2）如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了质数只有有限多个的假定，这就证明了质数是无穷多个。
九
函数域上的费马大定理。
十
11
辛钦常数：几乎每个小数写成连分数时分母的几何平均等于一个常数。
本来的证明可能很复杂。后来一个遍历定理两行就搞定了。
12
超越数存在:
多项式都是有限长度的字符串，所以全体多项式的集合至多可数。如果一个多项式的degree是k，那这个多项式的根至多有k个。所以所有代数数的集合是可数的。但是实数集不可数, 所以不是所有实数都是代数数。
13
范畴论“基本定理”：Yoneda's lemma. 基本照着定义证就行。包括同调代数里的5-lemma, snake lemma，导出函子的唯一性，等等，会做图表追踪就行。
拓扑里的庞加莱引理，本质是说星形区域可缩所以零调。还有黎曼几何里的Bianchi恒等式，都是理解了概念就会证。关键是很多人理解概念有困难。还有概率论里的切比雪夫不等式，这么显然的东西居然有必要有个名字。。其实很多情况下，数学结论的重要性，不在于他难证与否，而在于他多有用——这里说的有用并不一定指在工业生产实际生活中有用，也包括数学推导中的作用。切比雪夫不等式在概率论中当然有基础性作用。Yoneda's lemma也是整个可表函子理论的基础，在代数几何中几乎是“语法规则”一般的存在。
14
希尔维斯特-加莱定理
1893年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·希尔维斯特提出过这样一个猜想：
平面上有n个点，若它们不全共线，则必然存在一条直线恰好穿过两个点。
转述一下的话，如果有人让你画n个不全共线的点，并且其中任意两个点所确定的直线都会穿过第三个点，那么这是不可能的。
希尔维斯特自己也无法证明这个猜想。(。・`ω´・)
直到四十年后的1933年，另一名数学家蒂波·加莱才给出了一个相当复杂证明，发表于1944年《美国数学月刊》。
这事本该结束了，可戏剧性的是，十五年后的1948年，保罗·约瑟夫·凯利发现这个问题居然有一个简单到初中生都能看懂的初等证明……
反证法：假设存在某个点集，其中任意两点所确定的直线上都存在其他点。
在这个点集中画出所有可以确定的直线，做出每一个点到每一条直线的垂线段，并找出这些垂线段中最短的一条——不妨假设它是点P到直线l的垂线段，垂足记作H。
依照假设，直线l上至少有三个点，因此至少有两个点在垂足H的同一侧（允许与垂足重合）。不妨把这两个点记作R与Q。
由于我们做出了所有可能的直线，因而P与R之间也一定存在一条直线，然而，此时Q到PR的垂线段一定比线段PH更短!这与我们先前所假设的PH是最短垂线段相矛盾。
想消除这个矛盾，唯一的办法是让所有的垂线段长度都为0，这也就是n个点全都共线的情形。
证毕。
END