量子力学的本质之欧拉恒等式，数学与物理的深度融合

在本系列的第一篇文章中量子力学的本质，测量和自旋的数学原理 ，我们概述了一些基本的物理直觉，并描述了量子物理与日常生活中的经典物理的一些不同之处。经典物理学和量子物理学之间最重要的区别是，量子物理学往往违反经验直觉，因此最好的理解是抽象的数学形式主义。在我们继续建立这个形式主义之前，我们需要复习一些数学基础。

基础的第一步就是要熟悉复数。量子物理的大多数数学形式都是用复数来表示的，如果仅仅用实数来表示这种形式，如果可能，也是极其麻烦的。

域

解释复数的最好方法是把它们作为实数域的扩展来引入。因此，我们的第一步必须是解释什么是域。一个域（F， +， ×），或简单地说F，是一组结合了两个二元运算+和×的对象（称为加法和乘法）足域公理。我们经常省略乘法符号，直接写“ab”而不是a×b。二元运算是将一个值赋给一对对象的操作。加法是二元运算的一个例子，把两个数相加得到第三个数。这与一元元不同，一元运算只接受一个元素（如平方根运算）。

域公理如下：

• 闭包：若a，b∈F，则a+b∈F, a×b∈F。
• 恒等式：在F中存在元素1和0（不一定是数字1和0），分别称为乘法恒等式和加法恒等式。它们的性质是对所有a∈F，a×1 = a，a+0 = a。

求逆：对于每个a∈F，都存在-a和1/a，分别称为加逆和乘逆。它们的性质是a+(-a) = 0，a×(1/a) = 1。0是特例，它没有乘逆。

• 交换律：a+b =b +a和a×b=b×a。
• 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)和(a×b)×c = a×(b×c)。
• 分配律：a×(b+c) = (a×b)+(a×c)。

知道一些线性代数的人可能会注意到它与向量空间公理非常相似。这不是巧合，一个域是它自身的一个向量空间，向量的加法运算是域的加法运算，标量的乘法是域的乘法运算。

有理数和实数都是非常重要的域。给定的任何域F，有一些与F相关的重要域 。第一个是来自F的多项式的所有系数的域，用 F[x]表示。第二个重要的域是F的扩展。

多项式和域扩展

给定一个域F，我们可以通过邻近元素α（它不是F的元素）得到F的扩展，对于所有a,b∈F，我们称得到的扩展域F(α)及其元素为a+bα。当然，我们可以将元素附加到这个扩展域，例如(F(α))(β) = F(α，β)，这是一个域，其元素是a+bα+cβ（对所有a, b, c∈F）。熟悉线性代数的人会注意到这个扩展就像F上的向量空间一样，它的基是{1，α， β}，这一事实在域及其扩展的理论中是极其重要的。当域扩展的基底中有n个元素时，我们说域扩展是有限的，有n次。

那我们为什么要费这个劲呢？

假设我们有一个域F和一个多项式p(x)∈F[x]，即一个多项式的系数是F的元素，但不需要p(x)的根也是F的元素。例如多项式x²-2的根是±√2。系数1和2是有理数，所以这个多项式是ℚ[x]的一个元素，然而，它的根不是有理数。因此，x²-2的根域，也就是最小的域（最小是因为没有合适的子域也包含x²+2的根）是ℚ(√2)。由于我们刚刚看到存在一个多项式，其系数来自ℚ，但其根不是ℚ的元素，我们说ℚ不是代数封闭的。但ℚ(√2)也不是，因为考虑多项式x²-3√2的根是 ±(√3)√(√2)，它们不是ℚ(√2)的元素，因为√3不是ℚ(√2)的元素。

事实上，我们可以证明ℚ的有限扩展没有代数闭的。我们可以尝试实数，它是有理数的无限扩展，但ℝ也不是代数封闭的，因为多项式x²+1的根是±√(-1)，它不是一个实数，因为任何实数的平方都必须是正的。

为了解决这个问题，我们发明了一个新数字i=√(-1)，并将这个数字与ℝ邻接，得到ℝ(i)，也就是众所周知的ℂ，这是一组复数。利用复分析的方法，可以证明代数的基本定理，即任何系数取自ℂ的多项式，其根在ℂ。

本节的目的是演示复数的起源:ℂ是有理数和实数的代数闭包。任何系数来自ℂ的多项式，当然也包括其子集ℚ和ℝ，都起源于ℂ。

复代数

复数实际遵守的规则要简单得多，它们的行为或多或少与我们预期的方式一致。设u = a+ib, v = c +id。基本的域运算是标准的加法和乘法：

• 加法，将实部和虚部分别相加，(a+ib) + (c+id) = (a+c) +i (b+d)。
• 乘法，(a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc)，记住i²= -1。

我们可以取复数的幂，我们可以求出它们的n次方根，等等。但是也有一些特殊的新运算。

• 复共轭：给定一个复数z = a+ib，z的复共轭是a-ib。
• Re{z}和Im{z}：分别是z的实部和虚部。Re{a+ib} = a，Im{a+ib}= b。
• z的大小：也称为z的模量或绝对值。记作|z|。

复共轭允许我们对复数进行除法。只需将分子和分母同时乘以分母的复共轭:

现在我们将证明一个著名的，极其重要的结果。

欧拉恒等式

欧拉恒等式允许我们定义一个非常重要的函数叫做复指数：

这个公式传统上是用幂级数来证明的。注意：

此外，请注意：

k是任何大于等于0的整数。现在我们用指数，正弦，余弦函数的幂级数表示来证明欧拉恒等式：

证毕！

几何解释

用复平面（有时也称为高斯平面）上的一点来表示复数非常方便，实部在一个轴上，虚部在另一个轴上的坐标系统：

这种图被称为阿根图，以法国数学家让-罗伯特阿根的名字命名。

回想一下，我们定义了一个复数a+ib的大小为√(a²+b²)，这是一个长度为a和b的直角三角形斜边的长度。因此，一个复数的大小就是它到原点的距离。r = |a+ib| =√(a²+b²)

根据基本的三角函数，a = r×cos(θ)， b = r×sin(θ)， θ = arctan(b/a)。因此z = a+ib = r×(cos(θ) + i×sin(θ))。因此，利用欧拉恒等式，我们可以用极坐标形式表示z：

当我们用z的实部和虚部来表示z及其在复平面上的位置时，已经用直角坐标或者笛卡尔坐标的形式来表示z了。

应用，旋转矢量

你可能听说过复数可以被认为是在平面上旋转和拉伸向量的变换。事实上，复数不仅可以看作是在平面上旋转和拉伸向量的变换，它们是这样的转换的集合，从某种意义上说，每个复数（0除外）都表示这种类型的转换。

假设有向量(2,3)，将向量逆时针旋转47.5度，然后将向量的长度缩放0.7倍，然后再顺时针旋转25度，最后将向量缩放1.5倍，求其坐标值。最直接的方法是通过一系列变换矩阵求得：

新坐标约为(0.735，3.714)。

矩阵乘法非常繁琐，所以我们可能会问，是否有更简洁的方法。幸运的是，利用复数，我们可以很容易求得。首先将向量(2,3)表示为复数2+3i。极坐标是√(13)×exp{i×56.31}。第一个变换矩阵用0.7×exp{i×47.5°}表示，第二个变换矩阵用1.5×exp{-i×25°}表示，取负号是因为旋转是顺时针的。要找到新向量的复数表示，只需将它们相乘：

在三维空间中，如果我们试图只使用矩阵乘法来执行这些运算，将会变得非常困难。但是，正如我们可以更容易地使用复数来进行二维变换计算一样，我们可以将复数扩展到一个叫做四元数的新系统，并使用四元数代数来有效地进行这些运算。四元数是一个非常有趣的主题，我肯定会在将来的某个时候写它（感兴趣的关注老胡说科学），但这篇文章是为了量子力学而来的。