史宁中:解读小学数学教育如何在课堂中落实数学核心素养
自2005年教育部让我主导制定国家数学课程标准至今，数学的课程标准一直处于变化和发展当中，从“双基”到“四基”，再到数学核心素养。今天，我讲述的重点是数学核心素养及其未来发展的方向。
数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度、价值观的综合体现，这些是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。
简而言之，通过数学学科教育，我们究竟要培养一个什么样的人？我们提出了数学教育的终极目标，无论我们的学生未来是否从事与数学相关的职业，我们都希望他们具备以下三点能力：
会用数学的眼光观察世界
会用数学的思维思考世界
会用数学的语言表达世界
其中，数学眼光指的是数学抽象、直观想象，代表数学的一般性；数学思维指的是逻辑推理、数学运算，代表数学的严谨性；数学语言指的是数学模型、数据分析，代表数学应用的广泛性。
“三会”就是我们在学生的数学能力和数学思维习惯培养上的终极目标。作为教师无论处在哪一个学段，在进行数学教育教学的时候心里应该始终牢记这一终极目标。“三会”的内涵包括数学基本思想：
数学眼光：数学抽象
数学思维：逻辑推理
数学语言：数学模型
因此，数学核心素养的主线是“三会”，内涵是数学思想，基础是知识，获取方式是过程，是经验的累积，是思维的习惯和做事的习惯。
我们现目前使用的数学教材存在一定问题，没有有意识地让学生感悟数学的基本思想，没有有意识地引发学生思考、帮助学生积累思维和实践的经验。
例如初中和高中都会教函数，初中以变量的方式教函数，高中以对应的方式教函数，但我们的教材却没有对为什么这样教其背后的原因作进一步阐释，没有引导孩子理解这背后所体现的数学思想，这就是问题。
我在一次对某中学的调查中曾向学生们提问，我们为什么要学函数？居然有孩子这么回答：函数是老师考察学生数学学得好坏与否最重要的指标。
如果数学教到这个份上就没有意义了。
小学数学的内容是基本概念与运算法则，小学数学思维是通过从具体到一般，从感性到理性，来引导孩子感悟数学概念的抽象过程；通过举例说明、形式迁移、字母表达，来引导孩子感悟计算方法的形成过程。
目前已经发布了高中阶段的数学课标，不久的将来，义务教育阶段的数学课标也将出台，我认为，高中课标更侧重能力，而义务教育课标相比之下则要更具体，更侧重意识。
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像数学抽象这个概念，对于小学生而言是不太好理解的，我们换一个更为具体的表达方式，数学抽象就是符号意识和数感。
符号意识主要是指理解并运用符号来表示数、数量关系及其变化规律；知道使用符号来进行运算和推理，从而得出具有一般性的结论。符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，建立符号意识有助于学生理解。
数学抽象指的是舍弃数学的物理属性，得到数学研究对象的思维过程。比如数就是一种符号的表达，是对数量的抽象。
如何认识“数”，对孩子来说意义重大。
曾有一位数学老师问我，为什么有的孩子分不清“3”和“4”。我回答他，你是不是在讲“3”的时候说的是3个苹果，讲“4”的时候说的是4个梨呢？这位老师说是的。
这位老师的讲法其实是有问题的，因为孩子要学会抽象需要经历一个过程。3个苹果、3个梨这种说法，不能让孩子直接就认识到“3”这个数字，而要先给孩子提供3个小方块以便于孩子直观地进行认识。这就是从感性具体到感性一般。然而，感性一般的过程往往被我们所忽略。
从数量到数，形式上去掉后缀名词，实质上是舍去现实背景，思维上是从感性上升到理性。
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此外，分数的教学是很多教师都比较头疼的。分数是数，表达的是量的多少，但其本质更应该是反应关系。
古人是如何知晓四季的？周朝有本著作叫《周髀算经》，书中提到他们在平地上立一根垂直于地面的8尺长的杆子，古人称之为表，又叫做髀。有了这根杆子就可以测量太阳的影子。一年中，冬至那天的影子最长，而夏至那天的影子最短，由此古人确定了冬至和夏至。那么又该如何确定春分和秋分呢？他们将夏至的影长和冬至的影长加起来除以2，最终得到的这段影长，其对应的那一天就是春分或秋分。如此，古人就将一年四季定了下来。
这就很直观感性地表达出了分数的概念。
中国古代音乐的诞生也和分数有关。古人将一段长度分成3份，减去一份得到2/3，加上一份得到4/3，最后根据这样的比例关系来给乐器打孔。中国古代五个音阶“宫商角徵羽”就是这样来的。这里的分数就是线段长度的比例关系。
然而我们现在的数学教材中却没有这样的例子，但如果教师能在数学课堂中渗透一些这样的例子是很有价值的，同时它也是在引导孩子用数学的眼光来观察世界。
比如在讲1/3这个分数的时候，教师可以画3个小方块，把其中一个小方块着重标记，表示这是三份中的一份。但经我观察，我们小学教师在讲分数的时候普遍没有经历这样一个感性一般的过程，对学生理解分数造成了一定困难。
除了上面提到的两点以外，从数到字母也需要我们重视，这是从理性具体到理性一般的很重要的思维过程，但实际上在教材中仅仅用一节课就讲完了。我认为，这么重要的思维过程孩子仅仅用如此短的时间是无法深刻领悟的，他们会以为字母仅仅代表未知数。
字母能表达很多现象和一般规律，教师至少要让孩子明白如何用字母分别表达性质、关系和规律，例如，2n是偶数，这是对性质的表达；小明爸爸比小明大30岁，如果用a表示小明的年龄，用b表示小明爸爸的年龄，则可得：b=a+30，这是对关系的表达；s=vt表示路程等于速度乘以时间，这是对规律的表达。
如果没有把这个讲清楚，我建议方程的教学可以先放一放，一定要用极大的篇幅和教学情境让孩子领悟这个重要的思维过程。而且如果不是特别必要的话，我认为甚至可以先不用讲方程。
有的老师讲“5-x=2”这个方程，我问她你列这个方程的背景是什么，她说树上原本有5只鸟，飞走了x只，还剩下2只，问树上飞走了几只鸟。这不就是一个减法就能解决的问题吗，为何要列方程呢？
那么什么时候我才建议用列方程来解决问题呢？我觉得一定要是孩子在运用四则运算解题却遇到困难的时候，比如鸡兔同笼。总之，数学的每一件事都是有意义的，要么能让我们的思维更加深刻，要么能让运算更加方便。
符号意识使得现实世界中数量与数的关系、图形与图形的关系进入数学内部，但我们还需构建一样东西，使孩子从数学中还能回到现实世界，这个东西就是数感。从抽象了的数学回归现实世界，对尚处于小学阶段的孩子是必要的。
数感主要是指对数与数量、数量关系、运算结果估计等多方面的感悟，学生建立数感有利于帮助他们在理解数在现实生活中的意义，以及理解和表达具体情境中的数量关系。
比如数的大小回归到现实世界可以用100元来表示，同时用情境与量感让抽象的数回归到真实的世界背景当中，从而能让孩子理解100元可以在超市里买东西，但买不了一栋房子。
总之，我们要将数学学科、教育学及孩子的心理认知发展规律紧密结合起来，从而让我们的孩子变得更加智慧。
作者：史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，数学新课标修订组组长。