一道翻折问题

今天在一个数学解题群里偶然看到了一位老师的问题，引发了部分老师的讨论，题目如下：

据提问老师所言，本题是学生提出来的，他拿出来与老师们一起探讨。这里部分老师提出了关于AB是否为直径的疑问，因为题目中并没有说明。

有老师提出不需要AB是直径，并给出了自己的解法，附图如下：

也正是这个解法引起了我的思考。

事实上，这是道老题，我很早前就见过了！

解法中出现了易证AC=CD。“易证”、“显然”、“略”这样的字眼可谓是学生在研究数学问题中最讨厌看到的，因为可能很多东西对学生而言并非易证的，正如费马留给我们的千古谜题一样，他的易证却耗费了无数数学家无数的光阴才得证！同样地，就我的经验，这里的AC=CD对很多学生而言并不易证，对翻折变换及圆的图形性质把握不透的同学可能完全想不明白！稍后我将简要说明。

此外，对于这种解法下一个疑问就是△CHD∽△BHC，这个是如何得到的？我始终找不到条件。群内的老师也提出了质疑！

为此，我也专门用几何画板画了图，作以AB为弦的弓形，找到点D翻折前的对称点D'，改变弓形的大小，度量BC的长度，情况如下：

BC长度是会发生改变的，不是定值，说明我们的条件有缺失，上述老师的做法有问题，且△CHD∽△BHC得不到。如其他老师所言，不妨增添AB为直径这一关键条件！

这里借助上面的图简单说下AC=CD，原因在于由翻折∠D'BC=∠DBC，则可得CD'=AC，而CD=CD'，故而AC=CD。

在AB为直径的条件下我们可以按上述老师的做法完成此题。但从翻折的角度，我想给出另一种思路供同学们参考！

这种想法就是，题目所给的翻折可以看做是整个图形翻折的部分翻折，我们将其补全，也即找到点D关于BC的对称点D'，连接BD'并延长交AC延长线于点A'，由于AB为直径，则BC⊥AA'，就此我们得到完整的一个轴对称图形的图案△AA'B. 至此我们得到了一个基本图形，其中△A'CD'∽△A'BA，AC=A'C，A'B=9，A'D'=4，由相似可得AC的长度，从而BC的长度就出来了。

解数学题我们容易陷入“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的困境，如果我们能站得更高一点，跳出问题看问题，可能结果就是“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”了！