抛物线与线段交点问题

最近有学生问我中考数学倒一的相关问题，让我觉得值得引起考生的思考和探究。

本题的第一问属于传统的求二次函数解析式的问题，不再赘述。第二问事实上就是过抛物线上一点作x轴垂线（或y轴平行线）与直线交点间的距离的最大值问题，也属于同学们平时训练很多的问题。我们来关注下第三问。第三问主要是两点，其一是与平移变换结合起来，其二是抛物线与线段只有一个公共点。我们知道如若是求两个图象的交点，只需把两个图象解析式联立，求方程的解即可。本题特殊就在于求的是抛物线与线段的交点，这就给我们的思考提出了新的要求。如何解决？我想我们的思路很多时候受限于题目本身，而忽视了我们研究问题的方法。我们学习二次函数是通过研究二次函数的图象来研究其性质，再根据其性质来解决问题，故而数形结合思想的运用一定是我们解决函数问题不能绕过的。

运用几何画板，我根据题意作出了这个问题的动图，结合图象同学们很容易就可以看出抛物线在平移过程中与线段有一个交点所需满足的条件。这个图对于学生而言并不难作，只需要从向上和向下两个方向取点作出示意图即可满足分析的需求。故而解决问题的突破口在于正确依据题意作图分析，而不是有些同学拿道题目盲目地计算。

上述题目是抛物线对称轴不变，沿对称轴平移的问题，提示我们数形结合帮助我们思考分析问题。下面看另一道抛物线与线段交点的问题。

本题的特点是抛物线经过定点（0，-1），但对称轴是不确定的，其解析式亦是含参的。第一问求抛物线与直线交点问题，直接联立方程，由根的判别式即得，这里要注意二次函数解析式二次项系数不为零。第二问涉及二次函数轴定区间动的最值问题，是初高中衔接的重要体现，需要同学们掌握。第三问在第一问的基础上由直线变成了线段，要求与线段AB有两个不同的交点。我们同样根据题意画出示意图辅助分析，这里因为a的不确定性，抛物线开口方向和对称轴不确定，故而需要分类讨论。

根据图象，大家可以看到抛物线与线段的交点个数与点A、点B两个特殊点及抛物线开口方向有关。当抛物线开口向上时，对称轴在y轴的左侧，需要满足两点①在x=-3时抛物线上点的纵坐标要大于或等于-3（在A点上方或经过A点）；②抛物线与直线AB有两个交点，即联立方程后根的判别式大于零（保证有两个交点）。当抛物线开口向下时，对称轴在y轴的右侧，需要满足在x=1时抛物线上点的纵坐标要小于或等于-1（在B点下方或经过B点），在此情况下抛物线与线段一定有两个不同交点。由此我们可以列出相应的不等式（组），本题即求解。

可能有同学会说作图的问题，其实同学们是可以在草稿纸上根据分类情况做出示意图的，根据题意分好类，作图并不难，这里为了方便大家理解专门做的动图，一目了然。重点是在于根据图象列出相应情况下的不等式（组），这样就将问题转化回代数问题，继而求解。数形结合思想是函数学习的必备工具，也是必须掌握的数学思想方法，望同学们引起重视。当做题没有头绪时，不妨动动手，画画草图，也许一些问题就迎刃而解了！