例谈均值不等式的应用

均值不等式事实上是一系列不等关系的统称，即调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数。在中学阶段我们仅仅接触其中最简单的特例：a²+b²≥2ab及其相关变形。下面以一个例子就这一特殊的均值不等式及其应用作简要的说明，至于其他的一般形式还有推广应用，有兴趣的同学可以自行查阅资料。

a²+b²≥2ab的推导证明：

分析：由（a-b）²≥0，展开移项即得。

相关变形：

例 （2017年襄阳四中、五中自主招生试题）

分析：求代数式的最值问题，由于变量有两个，给我们求解造成困难，故而根据条件ab=1，代换掉其中一个未知数，同一变量再来求最值。顺着这个思路我们来看下解答

用字母b代换字母a之后，我们通过通分得到一个分子分母均是二次三项式的一个较为复杂的式子，但是这个式子要求解最值也不容易。下面的一个技巧就是分离常数，这是与分式相关的式子化简求值的一种重要方法。我们发现分子可以分离出一部分与分母完全相同，这是突破口，如此就可以把复杂的分子分离出来，今儿对分式进行化简。此后运用分式的基本性质，构造使用均值不等式的情境，此题就迎刃而解了。

本题作为自主招生选拔类的题目出现，有思维和技巧的要求，对九年级的学生而言是一道难题。这道求最值题目的求解至少有三道坎儿要过，其一代换过多变量，其二对复杂分式分离常数化简，其三构造均值不等式求最值。我们发现此题的变形过程是基础，构造均值不等式是得以求解的主要途径。