当数学和物理联手，会搞出什么大事情呢？

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原创：中科院物理所

人们对量子场论的数学内涵的加速理解将对数学和物理都产生深远的影响。

在过去的一个世纪里，量子场论（quantum field theory，QFT）被证明是有史以来应用最广泛也最成功的物理理论。它是一个总体的概念，里面包含了许多特定的量子场理论，就像“形状”的概念涵盖了一些例如正方形和圆形那样具体的例子。量子场论中最突出的理论被称为标准模型，正是这种物理框架取得了巨大的成功。

“它可以从根本上合理地解释我们所做的每一个实验，”剑桥大学的物理学家汤大卫（David Tong）如是说。

但无可争辩的是，QFT是不完整的。物理学家和数学家都不知道是什么使得量子场论成为了量子场论。他们已窥见了全貌，但尚未理清头绪。

“各种迹象表明，我们有可能找到更好的方式来思考QFT，”来自普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study，IAS）的物理学家内森·塞伯格（Nathan Seiberg）说道。“这感觉就像盲人摸象一样。”

数学需要考虑内在的一致性，并且关注每一个细节，它是使QFT完整的语言。如果数学能够学着像描述成熟的数学对象那样，用同样严格的方式来描述QFT，那么更完整的物理世界图景将很可能出现。

“如果你真的以正确的数学方式理解了量子场论，这将带给我们许多开放的物理问题的答案，甚至可能包括引力的量子化。”高级研究院主任罗伯特·迪杰格拉夫（Robbert Dijkgraaf）说道。

“在过去的世纪里，物理学中使用的每一个概念在数学上都有其天然的地位——除了量子场论。”

——内森·塞伯格，高等研究院

这也不是单行道。千年来，物理世界一直是数学最伟大的灵感来源。古希腊人发明了三角法来研究恒星的运动。数学把它变成了一门有定义和规则的学科，现在的学生们学习这些学科时不必参考这个课题的天体起源。又过了2000年后，艾萨克·牛顿想进一步理解开普勒行星运动定律，并试图找到一种严谨的方法来思考无穷小的变化。这种冲动（加上莱布尼兹的启示）催生了微积分领域，数学对其进行了适当的改进，时至今日微积分已经无处不在。

现在，数学家们想为QFT做同样的事情——把物理学家们为研究基本粒子而开发的思想、对象和技术纳入数学的主体。这意味着我们要定义出QFT的基本特征，这样未来的数学家就不必考虑该理论最初产生时的物理环境。

这样做的回报可能是巨大的：一旦数学发现新的探索对象和用来获取数字、方程式和形状之间的一些重要联系的新结构，数学就会进步成长。而QFT就提供了这两者。

“物理学本身作为一种结构而言，是非常深刻的。通常它是一种更好的方式来思考我们已经感兴趣的数学问题。这只是一种更好的组织方式。”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家大卫·本-兹维（David Ben-Zvi）说道。

在过去的至少40年以来，QFT一直吸引着数学家去探索其中的内涵。近年来，他们终于开始理解QFT本身的一些基本对象——数学家凭借自己的努力从粒子物理世界中将其剥离出来，并将它们转化为数学对象。

不过，这项努力目前还处于初期阶段。

来自罗格斯大学的物理学家格雷格·摩尔（Greg Moore）表示：“要等真到了那一步我们才能够知晓答案，但我当然希望我们目前只是看到冰山一角。如果数学家真的理解了QFT，那将会导致数学领域的巨大进步。”

永恒的场

人们通常认为宇宙是由基本粒子构成的，比如电子、夸克、光子等等这些东西。但是物理学很久以前就超越了这个观点。物理学家们现在不再谈论粒子，取而代之的是所谓的“量子场”，就像现实的经纬线一样。

这些场横跨了宇宙的时空。它们有很多种形式，像波动的海洋一样起伏。在场起伏并相互作用时，粒子从中浮现出来，然后又消失在其中，就像稍纵即逝的波峰。

“粒子不再是永恒不变的东西了”，汤说道，“现在它们只是场的舞步泛起的涟漪。”

想要理解量子场，最简单的方法是从普通场或说经典场开始。想象一下测量地球表面每一点的温度。我们将无限多个点组合在一起，在这些点上进行温度的测量，最终形成一个称为场的几何体，它包含了所有这些温度的信息。

一般来说，只要你有一些可以在空间中以无限精细的分辨率来唯一测量的量，就会出现场的概念。“你可以问关于时空中每个点的独立问题，比如这里的电场相对于那边的电场是多少。” 大卫·盖奥托（Davide Gaiotto）说道。他是加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所（Perimeter Institute for Theoretical Physics）的物理学家。

当你观察的是量子现象，比如在时间和空间的每一点的电子能量时，量子场就产生了。但是量子场与经典场又有着根本的不同。

地球上某一点的温度是确切的，该是多少就是多少。不同的是，不管你是否测量它，电子在你观察到它的那一刻才有确切的位置。在此之前，它们的位置只能通过概率来描述。通过给量子场中的每一点赋值，来获取到在那里找到一个电子相对于其他地方的可能性。在观察之前，电子基本上无处不在。

“物理学中的大多数东西不仅仅是物体。它们是存在于在时空的每一个点上的东西。” 迪杰格拉夫说。

在量子场论中有一套人们称为关联函数（correlation functions）的规则，它解释了场中某一点的测量与另一点的测量之间的关联。

每一种量子场论都描述了特定维数的物理。二维量子场论通常用于描述绝缘体等材料的行为；六维量子场论则与弦理论密切相关；四维量子场论描述了我们实际四维宇宙中的物理现象。标准模型就是其中之一，它也可能是唯一最重要的量子场论，因为它最能描述我们的宇宙。

宇宙中有12种已知的基本粒子。每一个都有自己独特的量子场。对于这12个粒子场，标准模型还加入了四种力场来表示四种基本力：引力、电磁力、强相互作用和弱相互作用。它将这16个场写入一个可以描述它们如何相互作用方程中。通过这些相互作用，基本粒子被理解为各自量子场的涨落——物理世界于是出现在我们眼前。

标准模型

这听起来可能很奇怪。但物理学家在20世纪30年代就意识到，基于场而不是粒子的物理学能够解决一些最紧迫的矛盾——从因果关系问题到粒子不会永远存在的问题。它还解释了在物理世界中一些似乎不太可能的一致性问题。

“宇宙中所有相同类型的粒子都是一样的，”汤说。“如果我们用大型强子对撞机制造出一个新的质子，它和已经运行了100亿年的质子完全相同。这应该得到一些解释。”——是的，QFT提供了它：所有的质子都只是在同一个更深层的质子场中的涨落（或者，如果你可以更仔细地观察，是深层次的夸克场的涨落）。

但是，QFT的解释能力是以很高的数学代价来实现的。

“到目前为止，量子场论是数学中最复杂的对象，以至于数学家都不知道如何理解它们。”汤说，“量子场论是尚未被数学家发明的数学。”

太多的无限

是什么让数学家感觉如此复杂？两个字，无限。

当你在一个点上测量一个量子场，得到的结果不是几个像坐标和温度这样的数字。相反，它是一个矩阵——这意味着得到的是一组排列好的数字。而且你得到的不是随随便便的一个矩阵——它是一个大的矩阵，我们也称之为算符，它有无限多的列和行。粒子从场中浮现出来包含了许许多多可能性，而这些算符反映了量子场是如何将这些可能性都包括在内的。

“粒子可以有无限多个位置，这就导致了这样一个事实，即描述位置和动量测量的矩阵也必须是无限维的。”约克大学的卡西亚·雷兹纳（Kasia Rejzner）说。

当一个理论涉及到无穷时，关于它们的物理关联性就会出现一些疑问。因为无限是一个概念，而不是实验所能测量到的任何东西。这也使得这些理论很难用数学来解释。

“我们不喜欢有一个能说明无限的框架。这就是为什么你开始意识到你需要对发生的事情有更好的数学理解。”阿姆斯特丹大学的物理学家亚历杭德拉·卡斯特罗（Alejandra Castro）说。

位于日内瓦欧洲核子研究中心的大型强子对撞机

当物理学家开始思考两个量子场如何相互作用时，无限的问题就变得更糟了，例如，科学家在日内瓦郊外的大型强子对撞机对粒子碰撞进行了模拟。在经典力学中，这种计算方法很简单：要模拟两个台球碰撞时发生的情况，只需使用指定碰撞点上每个球的动量。

当两个量子场相互作用时，你可以做一个类似的事情：在它们相遇的时空点上用一个场的无穷维算符乘以另一个场的无穷维算符。但是这个计算——涉及到两个无限接近的无限维物体——是困难的。

雷兹纳说：“问题就出在这里。”

了不起的成功

物理学家和数学家不能用无穷来计算，但他们已经开发出了解决办法——用近似的方法来回避这个问题。这些解决办法产生了近似的预测——而这已经足够好了，因为实验也不是无限精确的。

“我们可以做精度到小数点后13位的测量实验，到这里和理论符合得很好。这是所有科学中最令人惊讶的事情。”汤说。

一个解决办法是，首先想象你有一个量子场，在这个量子场中什么都没有发生。在这个被称为“自由”理论——因为它不包含相互作用——的环境中，你不必担心无限维矩阵的乘法，因为没有任何物体在运动，也没有任何物体发生碰撞。这是一个很容易用数学细节来描述的情况，尽管这种描述价值不大。

雷兹纳说：“这完全是无聊透顶的，因为你描述了一个没有任何相互作用的孤立场，所以这有点像是一种学术练习。”

但你可以让它更有趣。物理学家们加入了一点点相互作用，试图保持对图像的数学控制，不让相互作用变得更强。

这种方法被称为微扰QFT。从某种意义上讲，我们允许在自由场中进行小的变化或扰动。你可以把微扰的观点应用到类似于自由理论的量子场论中。它对验证实验也非常有用。“你会得到令人惊讶的精度，还有惊人的实验一致性，”雷兹纳说。

但是，如果你进一步增强相互作用，微扰的方法最终也会适得其反。它没有产生越来越精确的接近真实物理宇宙的计算，反而变得越来越不精确。这表明，虽然微扰法能够对实验提供有效的指导，但最终它并不是试图描述宇宙的正确方法：它在实际操作上是有用的，但理论上是不稳定的。

盖奥托说：“我们并不知道如何把所有的东西加起来，并得到一些合理的东西。”

我们一直在使用QFT作为外部激励，但如果它是内部激励，那就更好了。

——丹·弗里德，德克萨斯大学奥斯汀分校

另一个近似方案试图通过其他方法不断逼近成熟的量子场论。理论上，量子场包含无限精细的信息。为了制造出这些场，物理学家从一个网格或晶格开始，并将测量限制在网格线相互交叉的地方。所以，你不能在任何地方测量量子场——在一开始你只能在相隔一定距离的地方测量它。

以此为起点，物理学家提高了格子的分辨率，拉近了网格线的距离，创造出越来越细的网格。当它变紧密时，你可以测量的点的数量会增加，从而接近一个理想化概念的场——在那里你可以在任何地方进行测量。

“点之间的距离变得很小，最终就变成了一个连续的场，”塞伯格说。从数学上讲，连续的量子场是紧致格子的极限。

数学家习惯于用极限工作，并且知道如何确定某些极限确实是存在的。例如，他们证明了无限序列的极限1/2+1/4+1/8+1/16…是1。而物理学家想证明量子场是这个网格操作的极限所得。他们只是不知道怎么做。

摩尔说：“目前还不清楚如何利用这个极限，以及它在数学上有什么意义。”

物理学家毫不怀疑紧致格子最终会指向理想化的量子场。QFT的预测和实验结果之间的紧密吻合有力地表明了这一点。

塞伯格说：“毫无疑问，所有这些极限确实存在，因为量子场论的成功确实令人震惊。”但“有确凿证据证明某件事是正确的”，和“完全证明出来它是正确的”，这是两件不同的事情。

这是一个不精确的程度的问题。QFT跳脱出了其他伟大的物理理论，并渴望取而代之。艾萨克·牛顿运动定律、量子力学、爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论——它们都只是QFT想讲述的更大故事的一部分。但与QFT不同的是，它们都可以用精确的数学术语写下来。

“量子场论作为物理现象的一种几乎通用的语言出现了，但它的数学形式很糟糕，”迪杰格拉夫说。对一些物理学家来说，这是停下脚步的原因。

“如果整个房子都是建立在这个核心概念上的，而这个概念本身并不是用数学的方式来理解的，那你凭什么这么自信这是在描述我们的世界？这让整个问题变得更加尖锐。”迪杰格拉夫说。

外在的推动力量

即便在理论不完备的状态下，量子场论（Quantum Field Theory，QFT）也引发了许多重要的数学发现。QFT促进数学发展的一般模式是：使用QFT的物理学家偶然发现了令人惊讶的计算，然后数学家试图给出一些解释。

“这就像是一台产生想法的机器，”汤大卫说。

在基本层面上，物理现象与几何学有着密切的关系。举一个简单的例子，如果你把一个运动的小球放在一个光滑的表面上，它的轨迹将对应出表面上任意两点之间的最短路径，这种特性称为测地线。这样一来，物理现象就可以检测出某种形状的几何特征。

现在我们用电子代替之前说的小球。电子以某种概率存在于表面上的每一点。通过研究包含这些概率的量子场，你可以了解到表面的整体性质（用数学家的术语来说是流形），比如它有多少个洞。这是从事几何学和拓扑学相关领域的数学家想要回答的一个基本问题。

“一个粒子即使待在那里什么也不做，我们也能了解流形的拓扑结构。”汤大卫说。

在20世纪70年代末，物理学家和数学家开始应用这种观点来解决几何中的基本问题。到了90年代初，塞伯格和他的合作者爱德华·威滕（Edward Witten）弄清楚了如何使用它来创建一个新的数学工具——现在我们称之为塞伯格-威滕不变量，它将量子现象转化为一个形状的纯数学特征的指标：通过计算量子粒子以某种方式表现的次数，可以有效地计算出了形状中的孔洞数量。

爱德华·威滕

来自牛津大学的数学家格雷姆·西格尔（Graeme Segal）说：“威滕指出，量子场论为几何问题提供了完全出乎意料但又完全精确的见解，这使棘手的问题得以解决。”

另一个两种学科交叉的例子也出现在20世纪90年代早期。当时物理学家正在进行与弦理论相关的计算，他们根据本质上不同的数学规则，在两个不同的几何空间中进行这些运算，并不断生成精确的长串数字，这些数字彼此吻合得很好。数学家们抓住了这条线索，把它发展成一个全新的研究领域，叫做镜像对称。数学家用它来研究一致性以及其他许多类似的问题。

“物理学能提出这些惊人的预言，而数学家会用自己的方法来加以证明，”本-兹维说道，“尽管这些预言既奇怪又精彩，但结果几乎总是正确的。”

然而，尽管QFT已经成功地为数学创造了线索，但它核心思想的大部分仍然存在于数学之外。数学家们有方法去使用多项式、群、流形和其他学科的支柱（其中许多也同样起源于物理学），但是对于量子场论，数学家们理解得还不够好。

对于物理学家来说，这种与数学的遥远关系是一种迹象——对于这个他们创造出来的理论，物理学家们还需要去了解更多。“在过去的世纪里，物理学中使用的每一个概念在数学上都有其天然的地位——除了量子场论。”塞伯格说。

我想说的是物理学家不一定无所不知，但物理学是的。

大卫·本-兹维，德克萨斯大学奥斯汀分校

而对于数学家来说，QFT和数学之间的关系似乎应该比偶尔的互动更深。这是因为量子场论包含了许多对称性，或者说是潜在的结构，它们决定了场的不同部分中的点是如何相互联系的。这些对称性具有物理意义——它们体现了量子场随时间演化时像能量这样的物理量是如何守恒的。同时它们本身也是数学上有趣的研究对象。

“数学家可能关心某种对称性，而我们可以把它放在物理环境中，”卡斯特罗说，“这就在这两个领域之间建立了一座美丽的桥梁。”

数学家已经利用对称性和几何的其他方面来研究从不同类型方程的解到质数分布的所有问题。通常，几何会将数字问题的答案编码。QFT为数学家提供了一种丰富的新型几何对象，如果他们能直接着手处理，那就不知道他们能做什么了。

“在某种程度上，我们是在玩QFT。”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家丹·弗里德说。“我们一直在使用QFT作为外部激励，但如果它是内部激励，那就更好了。”

为QFT铺平道路

数学不会轻易接受新学科。许多基本概念都经过了长时间的考验，才在这一领域中确立了其应有的、规范的地位。

以实数为例——它是数轴上无限多的所有刻度。人们通过将近2000年的数学实践，才在定义它们的方法上达成一致。最后，在19世纪50年代，数学家们确定了一个精确的五字陈述，将实数描述为一个“完备有序域（complete ordered field）”。它们之所以完备，是因为它们不包含间隙；之所以是有序的是因为总有一种方法可以确定一个实数是否大于另一个实数；并且它们形成了一个“域”，对数学家来说，这意味着它们遵循算术规则。

弗里德说：“这几个词代表了历史上的一段艰难的斗争。”

为了将QFT转化为一种内部激励——一种他们可以用于实现他们自己目的的工具——数学家们希望对QFT给予与实数相同的处理：任何特定的量子场论都需要满足的一个严格的特征表。

圆周理论物理研究所的凯文·科斯特洛正在构建一个框架，它可能将量子场论最终构建于在严格的数学基础上

把QFT的一部分转化成数学的许多工作来自圆周理论物理研究所的数学家凯文·科斯特洛（Kevin Costello）。2016年，他同别人合著了一本教材，这使得微扰QFT理论有了坚实的数学基础——包括形式化地描述了如何处理随着相互作用增强而出现的无限量。这项工作是在2000年代早期的一项叫做代数量子场论的研究的基础上进行的，该理论也是在寻求类似的目的。所以现在虽然微扰QFT仍然不能真正描述宇宙，但数学家知道如何处理它产生的没有物理意义的无穷大。

“他的贡献非常巧妙，也很有见地。他把微扰理论放在一个很好的新框架中，而这个框架适用于严格的数学。”摩尔说。

科斯特洛解释说，他写这本书是为了让微扰量子场论更合乎逻辑。“我只是发现某些物理学家的方法没有动机，而且是临时的。我想要一个更独立的、数学家可以使用的东西。”

通过精确地说明微扰理论是如何工作的，科斯特洛构造出了一个基础。物理学家和数学家可以在此基础上构建满足他的微扰方法所要求的新的量子场理论。这个工作很快就被领域的其他人所接受。

“肯定有很多年轻人在这个框架下开展研究。”弗里德说，“凯文的书产生了很大影响。”

科斯特洛也一直致力于定义什么是量子场论。简单地说，量子场论需要一个几何空间，在这个空间中，你可以在每个点上进行观测，并结合相关函数来表示不同点的观测值是如何相互关联的。科斯特洛的工作描述了一组相关函数需要具备的性质，以便将此作为量子场论的可行基础。

最常见的量子场论，如标准模型，包含了并非在所有量子场论中都存在的附加特性。缺乏这些特征的量子场论可能描述了其他尚未发现的性质，这些性质可以帮助物理学家解释标准模型无法解释的物理现象。如果你对量子场论的看法过于接近我们已知的版本，你甚至很难想象其他必要的可能性。

盖奥托说：“有一个大灯柱，你可以在灯柱下找到某些场的理论（比如标准模型），它周围则是（量子场论）的一大片黑暗，我们不知道如何定义，但我们知道它们就在那里。”

科斯特洛用他对量子场的定义照亮了一些黑暗的空间。从这些定义中，他发现了两个令人惊讶的新的量子场论。尽管它们都不能描述我们的四维宇宙，但它们确实满足了具有相关函数的几何空间的核心要求。这是一项纯思维的发现，类似于你发现了一个可能存在于物理世界中的形状，一旦你对一个形状有了一个大致的定义，你就可以用自己的方式去思考那些与物理无关的例子。

如果数学能够确定量子场论的全部可能性——满足一个涉及关联函数的一般定义的所有不同可能性——物理学家可以利用这些可能性找到解释他们最关心的重要物理问题的具体理论的途径。

卡斯特罗说：“我想知道所有QFT的空间，因为我想知道量子引力是什么。”

延续几代的挑战

这项工作还有很长的路要走。到目前为止，所有的量子场论都是用数学术语来描述的，它们都依赖于各种简化——这使得它们更容易进行数学处理。

几十年前，简化问题的一种方法是研究更简单的二维QFT，而不是四维QFT。一个法国的团队最近敲定了一个重要的二维QFT的所有数学细节。

其他的简化方法假设量子场是对称的，但这有时不符合物理现实。不过从数学的角度看，这使它们更容易处理。其中包括“超对称”和“拓扑”QFT。

而下一步，也是更困难的一步，是去掉“拐杖”，提供一个更适合物理学家最想描述的物理世界的量子场论的数学描述：四维连续的宇宙，所有的相互作用都可能同时发生。

“有一件很尴尬的事：我们没有一个可以用四个维度、非微扰的方式描述的量子场论。” 雷兹纳说。“这是一个很难解决的问题，显然需要一两代以上的数学家和物理学家来解决。”

但这并不能阻止数学家和物理学家不断为之努力奋斗。对于数学家来说，QFT是一种和他们所预想的一样的丰富的研究对象。定义所有量子场论所共有的特性几乎肯定需要合并数学的两大支柱：解释如何控制无穷的分析方法和为讨论对称性提供语言的几何学。

迪杰格拉夫说：“就数学本身而言，这是一个迷人的问题，因为它结合了两类伟大的思想。”

如果数学家能够理解QFT，谁也不知道在这一过程中有什么样的数学发现在等待着数学家们。很久以前，数学家定义了其他对象的特性，如流形和群，现在这些对象几乎渗透到数学的每个角落。当它们第一次被定义时，不可能预料到它们所有的数学结果。QFT至少在数学方面有着同样的希望。

“我想说的是，物理学家不一定无所不知，但物理学是的。” 本-兹维说。“如果你问对了问题，它就已经具备了数学家正在寻找的现象。”

对于物理学家来说，对QFT的一个完整的数学描述体现了他们领域最重要目标的另一面：对物理现实的完整描述。塞伯格说：“我觉得有一种知识结构涵盖了QFT的所有方面，说不准它将涵盖所有的物理学。”

现在数学家要做的就是将其揭示出来。

作者：Kevin Hartnett

翻译：Dannis

审校：C&C