小学时候我们就学过圆的面积公式。
其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？
首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此
这个公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。
然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。再然后，我们把这些比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。
可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半
根据长方形的面积公式“长方形面积=长乘宽”，我们得到圆的面积公式：
其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。其实，从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了，比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动-如天文、航海等问题越来越多，微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家和物理学家牛顿和德国哲学家和数学家莱布尼茨分别发明了微积分。1665年，牛顿从剑桥大学毕业了，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，而只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。所以我们今天谈到微积分公式，都称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。他们在自己的著作中删除对手的名字时，如果知道后人总是把他们的名字放在一块写，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。微积分是一门变量学科，包含着丰富的辨证思想。恩格斯说:“有了变量，辩证法就进入了数学”，“变数的数学——其中最重要的部分微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用”，通过变量、函数、极限、微分和积分等基本概念和基本方法，将辨证思想渗透到整个微积分之中，在一定条件下，使数学中直与曲、常量与变量、有限与无限、局部与整体、近似与精确、特殊与一般、离散与连续、对立与统一、量变与质变、否定与肯定等基本矛盾的对立面相互转化，是微积分中辨证思想的具体体现。恩格斯曾经指出:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事，我们知道，直与曲是有严格区别的两个概念，从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特征来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0;从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程；一般情况下，无论在理论的处理上还是在实际的计算上，直比曲要简单得多，然而在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即比;辩证法认为，在一定条件下，直与曲可以相互转化。通过直认识曲是微积分中解决许多问题的一个重要思想，直与曲的转化是微积分必不可少的一个方法，微积分正是利用直与曲的矛盾转化达到了初等数学所完全不能达到的目的，微积分中有许多在曲的局部以直代曲来解决问题的典型例子。常量与变量是数学中的两个基本概念，常量是反映事物相对静止状态的量，而变量则是反映事物运动变化状态的量，这两种量的意义有着严格的区分，但是它们又是相互依存、互相渗透，在一定条件下相互转化的，在微积分的内容体系中，要充分重视常量与变量在一定条件下的相互转化关系。有限与无限是对立的统一，在微积分中，我们往往通过有限来认识无限，也通过无限来确定有限。变量变化过程中的局部与整体之间的相互对立统一的辨证关系，使得整个微积分在这对矛盾的基础上得以展开，在微积分中，通过局部的性质来揭示整体的性质，又通过整体来刻画局部，是一个经常用到的重要方法。微积分中通过先近似、再精确的转化使得问题变得比较容易解决。从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，一方面由于事物的特殊性中包含着一般性，即共性存在于个性之中;另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更能反映事物的本质在数学中，无论是描述相对静止状态的量，还是描述运动变化状态的量，都存在着两种情况:连续与离散，连续与离散是数学研究中的重要矛盾之一，它们既有本质的差别，又在一定的条件下互相转化。对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心，是唯物辩证法的最基本的规律，它认为:任何事物自身都包含既相互联系又相互排斥的两个方面，也就是每一事物都是一分为二的，都分裂为两个对立的部分、方面和趋势，它们互相排斥、对立，但又互相联系，两者共处于矛盾的统一体中，数学中到处充满着矛盾，充满着各种对立面的转化，比如，数学中直线可以看成半径为无穷大的圆，半径为无穷大的圆，也可以看成直线.就是说在这种意义下，直线和圆可以互相转化或者说“直和曲”可以互相转化，类似地，平面可以看成半径为无穷大的球，半径为无穷大的球也可以看成平面，在这种意义下，两者是统一的，可以互相转化、替代。辩证唯物主义告诉我们，一切物质都是质与量的统一物质的运动、变化和发展，不仅有一定的空间形式，而且有一定的数量关系，这就是说，量是形和数的统一，数学正是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的，即从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律，事物的量变质变规律反映在数学中，一是表现为数学的质的差异;二是从量变到质变的飞跃过程。任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面，唯物辩证法从事物肯定和否定的对立关系中，揭示了事物发展是辨证否定的过程，用发展的观点揭示和阐述科学内容的辩证实质，是马克思运用唯物辩证法研究科学问题的一种独到的思想方法，运用这种思想方法可以将科学概念、理论和方法从唯心主义、形而上学等错误哲学观点的束缚下解放出来，使其置于正确哲学思想之上。
