微分系列之一,切线
以直代曲是微积分的基本思想
用来代替曲线的直线就是切线,这就是本课要讨论的问题
对于一条曲线
我们感兴趣的,可能有它的长度
它的面积,等等
但很显然,因为是曲线,所以这些并不好求解。
我们需要想办法把它用直线表示。
假设有曲线 和直线 ,如果两者完全相等,那么有:
不过这显然很难办到。
但可以做到在某一点相等
下面,我们稍微进一步。以 为中心,取一小段
在这一段上, 与 相差很小
并且,随着 的减小,直线不断逼近曲线
将此推广到整条曲线。首先将,曲线分成若干份
每份都用一条线段代替
并且随着划分的越来越细,这些直线越来越接近之前的曲线
这种,用直线代替曲线的方法,称为以直代曲。
下面,将前面的分析,落到代数上
3.1 条件一
前面说过,在一小段区间上,直线与曲线相差较小
加上高阶无穷小 ,就可以把约等于变成等于
3.2 条件二
其次,曲线 与直线 在 点处相等。
如果,此时再知道直线的斜率
那么就能得到直线的表达式
下面,我们就来求解斜率
经过上面的分析我们有了:
将 用 代替
等式两边同除
两侧取极限: 根据高阶无穷小的定义,可知等式右边为零 略微作一下化简可得:
这个式子中的每个元素都是已知的。
这样如果极限存在,则斜率存在,斜率存在就能求出直线 这就是以直代曲中的直,也就是切线。
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