数学探究：号称“史上最难广东中考卷”，到底难在哪里？

前言

事情还要从上周说起，一位朋友发来广东中考卷，让帮忙做个解析，彼时尚不知晓今年的广东卷有“史上最难广东卷”的美誉，只是大概看了眼，觉得小题有点意思．

那么，这份卷子到底难在哪里了？

按我的选题习惯，选、填最后一题，解答题最后两个，先看起来~

1

选择最后一题

题目

设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x²上的两个动点，且OA⊥OB，连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值是（    ）

因为排版原因，选项就不放上来了，另外，这个题目没有配图，这个不是我漏掉，是本来就没有图．稍作分析：

最值问题可以分为两类：

（1）构造类：如将军饮马、胡不归、阿氏圆等；

（2）轨迹类：如辅助圆、瓜豆等．

从问题的形式来看，构造类通常形如“PA+PB”或“PA+kPB”，轨迹类通常为单线段最值问题．

本题问点C到y轴距离的最大值，显然只要确定点C轨迹，即可确定最大值．

没有配图意味着考生需要花时间自行画图，且二次函数图像并不容易画得标准，无形中也增加了本题难度．

完成作图后，重点考虑“OC⊥AB”这个关键性条件，与直角相关的最值问题，不难想到定边对直角，那定边呢？

只能是OP，发现并证明出OP是定值，是本题最大的难点．

具体的解析看下方解析，提供了两种思路，但有一点，如何从图形着手去发现OP是个定值，并没有想到明确的思路，这也是在这份解析里花时间最多的地方之一．

法1

法2

常规的“定边对直角”问题并不难，可以变化的方向是“模糊直角”或“模糊定边”．

从问题形式猜想类型，从已知条件中去挖掘直角或定边，是解题关键．

2

填空最后一题

题目

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值是_______．

又是一个不配图的几何题，好在这个图并不难画，单线段最值，∠ADB=45°，定角也有了．

作完图不难发现是个“定边对定角”的问题，有点像2019南京中考16题，计算不麻烦，比第10题容易．解析如下．

2019南京中考第16题

在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是________．

解析

3

倒数第二大题

题目

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF．

（1）求证：CF⊥FB；

（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；

（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．

先感慨一句：终于有图了~

这个图可以追溯到《全等三角形》章节的一个问题：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M点是AB中点，连接MD、MC．若CD=AD+BC．则可证明

（1）DM⊥CM，

（2）DM、CM分别是∠ADC、∠BCD的角平分线．

类似的图形，本题研究的不在M这个中点，而是CD边的N点，其中DA=DN，CB=CN．

3个小问难度不算大，按部就班分析即可．

解析

这个图中还有一些结论，比如连接AC、BD，交点会是EF的中点．可以继续证明1/AB+1/CD=2/EF．如果考这个的话难度就大了~

这个图形在抛物线的几何定义里出现过，相关请看链接【压轴题】抛物线的几何定义

4

最后一大题

题目

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像过点（-1,0），且对任意实数x，都有

4x-12≤ax²+bx+c≤2x²-8x+6．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图像与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C，点M是（1）中二次函数图像上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

最后一题题目新颖了些，给出了一个不等式，但还是没有配图．首先对于多项式，作因式分解是常规思路之一，由此确定抛物线过另一顶点（3，0）．

接着对于a的分析，将不等式转化为二次函数图像问题，利用函数和方程解决问题，是个巧妙的设计．

第二小问是个常规的平四存在性问题，两定两动，一个在x轴上、另一个在函数图像上，分类讨论列方程组即可解决问题．

特殊图形存在性问题变化不多，作为压轴题中规中矩，思路不难但一般计算量不会小．是一种稳妥的出题方式

解析

5

然后嘞

做到这里，两个大题其实倒不难，两个小题压轴都是最值，如果做过相关类型题，17题问题不大，但第10题还是很难．

但当我再扫一眼其他小题时，我有点感受到这份卷子的恶意了，比如这个第9题，海伦公式并不陌生，考察的是二次函数最值计算．读题加计算，需要花费的时间并不少．

第9题

再比如填空的15题和16题，难度不大，题型也不算新鲜，但是，需要稍加思考！以及计算都是需要动笔算一算的那种呐！

第15题

第16题

就这些题目而言，我觉得都是有设计、有想法的，单个题目算不上多难（第10题还是挺有难度），但如果知道考试时间只有90分钟，就知道多残酷了，数学考试有时候也是在与时间赛跑~

以及：

有题型新颖的题，

有计算量不小的题，

有思路不太好想的题，

还有需要自己画图的题，

这出卷思路，很得葛大爷真传，很考验考生的基本功和分析问题的思维方式，以及这个计算量，如果计算不是很ok的话，确实做不完~

but，还是想说一句：是一份选拔性考试应有的模样~