数学史话——微积分的历史轨迹

事物的发展，总是从量变到质变，量变过程伴随着部分质变，质变中又有量的扩张，新的量变又会引起新的质变。微积分的历史也不例外——一条主线是自柏拉图，经阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴罗的量变积累，到牛顿发生根本质变，形成了运动学特征的微积分；另一条主线是自德谟克利特、开普勒、费马、帕斯卡和惠更斯的量变积累过程，到莱布尼兹发生根本性质变，形成了原子论性质的微积分。I.Newton(1642-1727)在1665-1667年间所做的工作和G.Leibniz(1646-1716)在1672-1676年间所做的工作就分别是这两条主线上的各自的质变。它们是微积分演化史上不朽的里程碑。以此为标志，我们称以前的微积分演化历程为微积分演化史的第一历史阶段，称此后到1821年为微积分演化的第二历史阶段。

德谟克利特

微积分演化的第二个历史阶段，不仅是微积分演化史中最辉煌的历史阶段，也是整个科学发展史中最辉煌的历史阶段之一。在这个历史阶段中，不仅形成了被恩格斯誉为“人类精神最高胜利”的本初微积分，而且，还形成了微积分的各分支科学和以微积分方法为工具的众多门科学。除Newton和Leibniz外，L.Euler(1707-1783)、J.Bernoulli(1654-1705)、J.Bernoulli(1667-1748)、J.L.Lagrange(1736-1813)等多位数学家都是这一历史时期的杰出代表。在这个历史时期里，他们都几乎无一例外地既是微积分学家，又是其它学科的科学家，因为这个时期的自然科学大多是微积分方法在各门自然科学中的应用，而且其应用状况正如恩格斯对当时数学应用的描述一样：“在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在流体力学中已是比较困难了，在物理学中多半是尝试性和相对的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于0。”

值得注意的是，在现行微积分原理形成以前，多元微积分、常微分方程、偏微分方程、变分法、积分变换、级数、微分几何等众多学科已经发展起来了，还有一般力学（以Lagrange光辉夺目的《分析力学》为代表）、刚体力学、弹性力学、结构力学、流体力学、天体力学和物理学等学科的建立和发展。

微积分演化的第三个历史阶段始于1821年，止于2010年。第三个历史阶段又可分为上叶和下叶，其分期在1850年前后，标志是Dirichlet函数、Weierstrass函数、Thomae函数和Volterra函数等的构造。

在关于Newton的和Leibniz的的本质的论战中，缺乏睿智但却十分激烈的论战展开与1734年的G.Berkeley(1685-1753)和J.Jurin之间。参战的B.Robins正式用极限思想解释“首末比”，继而，J.L.R.d'Alembert(1717-1783)将极限解释微积分的方法引向深入，1821年，A-L.Cauchy(1789-1857)出版了《分析教程》，1823年，又出版了《无限小计算教程概论》。这两部著作建立了极限理论，并以此为工具建立了全新的微积分原理，以这两部划时代的著作为标志，微积分演化史进入了第三个历史阶段的上叶。Cauchy是这个时代的领军人物，这个时代的代表人物还有B.Riemann(1826-1866)、K.Weierstrass(1815-1897)、G.Darboux(1842-1917)等多位数学家。但是，他们大多数是修补和充实Cauchy的积分思想和极限思想，从而形成了一个规避微积分“尴尬”——和“既是0同时又不是0”的Cauchy模式的微积分原理。

进入微积分演化史的第三个历史阶段的下叶，V.Volterra(1860-1940)、L.Bell(1874-1932)和H.Lebesgue(1875-1941)等多位数学家，尤其是Lebesgue集前人之智慧，用G.Cantor(1845-1918)的集合论解决了怪异函数的可积性问题，并建立了Lebesgue积分，其标志是其1902年撰写的博士论文《积分、长度和面积》。从此，实变函数和现代分析建立起来，数学界公认并宣布微积分完善。

黎曼积分和勒贝格积分之比较

应该指出的是，在微积分的第三个历史时期，科学虽有重大突破，但不是微积分的功绩，比如，相对论、量子力学、基因工程、计算机工程等。除将分析引入复数领域外，微积分的分支学科和以微积分为支撑的自然科学发展得很有限。在这么有限的成果中，有些还是逆Cauchy模式的微积分而产生的，如微分方程定性理论，它反倒源于Cauchy体系排斥的，即解出的奇点。在这个历史时期，像Lagrange的分析力学那样，微积分在其中起规律揭示作用的科学几乎没有发生，即使是物理学中的MaxWell方程，也是第二个历史时期的微积分方法在起作用，而不是现行的微积分原理。最有讽刺意义的实例是S.Poisson(1781-1840)的科研实践，Poisson在积分理论、行星运行理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论领域都做出了重要贡献。在与Cauchy同时代的科学家中，像Poisson这样的成果丰硕的科学家并不多见，在微积分原理问题上，他与现行微积分原理持相反的态度。“S.D.泊松在其《力学论著》(Traite'deme'canigue)中大量使用无穷小法，这本书在19世纪上半叶多次再版，很久以来就是一本标准著作。他认为这些量‘小于任何同类性质的给定量’，是真实存在的，而不仅仅是‘几何学家想象得一种研究方法’。因此，他认为，微分学的目标就是求无穷小之比。”按理说，有了“严格分析奠基者”Cauchy和“现代分析之父”Weierstrass建立起了严密而完整的微积分，微积分分支学科和相关学科的发展应该远远超过前一个时期，可事实上为什么相反呢？回答并不难——因为在第三个历史阶段微积分的发展方向是迂回的，微积分原理的结构是扭曲的，并且，还是含有大量错误的。

一种方法，它能够放之四海皆准，绝不会是无缘无故的。以Newton和Leibniz思想为内容而以Leibniz表达方式为形式的微积分能够放之四海皆准，这背后一定隐藏着规律。面对这铁一般的事实，人类唯一正确的做法是老老实实地揭示隐藏在事物背后的规律，从而建立微积分原理，发展微积分方法，而不是用有限的见识去否认活生生的现实。与硕果累累的Euler不同，Cauchy决定另搞一套。

科学实践一再证明，以“直”代“曲”的推演和计算是精确的（而非近似的）；科学实践一再证明，积分是微分的直接累加（根本不须再求极限）。面对这些铁一般的事实，Cauchy没有也没有能力解决为什么，而是予以否认。在Cauchy看来，Leibniz的“定性的0”的思想，Euler的“不同阶0”的思想，Poisson的“小于任何同类的给定量”的思想，都不是离成功只差半步的光芒四射的思想，而是他另起炉灶的依据。

以Cauchy为代表的数学家，他们不懂得创新源于直觉，理论成于反思，更不知道人的心理由相互独立而又相互作用的无意识、非自潜意识和自潜意识三个部分构成；不知道革命性的思想（即创新）在非自潜意识中发生和理论不过是自遣意识对前者的反思形式，也不知道反思要借助于模型来完成。以Cauchy为代表的数学家也不懂得形式逻辑仅是自遣意识中的逻辑，而形象逻辑才是非自遣意识中的逻辑，因此，也就不懂非自遣语言不可用自遣意识理解和评价。从而前辈光辉夺目的非自遣论断被误作呓语，于是，Newton明知其不全对，而在Leibniz发表微积分成果的压力下不得不发表的尘封20年的自遣论述成为Cauchy的法宝。Newton说：“严格地说，消失量的最终比不是最终量之比，而是这些无限减少的量的比的极限。”这样的话被Cauchy继承，而Newton光辉夺目的非自遣论断：“弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比。”这样的充满真知灼见的思想却被抛到九霄云外。从而微积分的演化历史进入了长达两百年的历史大迂回时期。

人类对微积分的要求不应满足并停留于历史的大迂回之中。