张奠宙：与杨振宁先生漫谈数学和物理的关系
杨振宁是当代的大物理学家，又是现代数学发展的重要推动者，他的两项巨大成就: 杨–密尔斯规范场和杨–巴克斯特方程，成为80年代以来一系列数学研究的出发点，其影响遍及微分几何、偏微分方程、低维拓扑、辫结理论、量子群等重大数学学科。
这里记录的有关数学与物理学的关系，来自笔者在1995年末在纽约州立大学(石溪) 访问杨振宁先生时的一些谈话材料，不是系统的谈话。本文的中文版于1992年4月在台湾《数学传播》发表，内容不完全相同的英文版则刊于Mathematical Intelligencer Vol.15, NO.4, 1993。后者的中译文已被收入杨振宁的新著《读书教学再十年》(台湾时报出版公司，1995)。
有关数学的两则“笑话”
1980年代初，杨振宁曾在韩国汉城作物理学演讲时说“有那么两种数学书: 第一种你看了第一页就不想看了，第二种是你看了第一句话就不想看了”。当时引得物理学家们轰堂大笑。
此话事出有因。
1969年，杨振宁察觉物理上的规范场理论和数学上的纤维丛理论可能有关系，就把著名拓扑学家Steenrod着的“The Topology of Fibre Bundles纤维丛的拓扑”一书拿来读，结果是一无所获。原因是该书从头至尾都是定义、定理、推论式的纯粹抽象演绎，生动活泼的实际背景淹没在形式逻辑的海洋之中，使人摸不着头脑。
上述汉城演讲中那句话本来是即兴所开的玩笑，不能当真的。岂料不久之后被Mathematical Intelligencer杂志捅了出来，公之与众。在数学界当然会有人表示反对，认为数学书本来就应该是那样的。不过，杨振宁先生说“我相信会有许多数学家支持我，因为数学毕竟要让更多的人来欣赏，才会产生更大的效果”。
我想，杨振宁是当代物理学家中特别偏爱数学，而且大量运用数学的少数物理学者之一。如果连他也对某些数学著作的表达方式啧有烦言，遑论其它的物理学家? 更不要说生物学家、经济学家、一般的社会科学家和读者了。
另一则笑话，可在波兰裔美国数学名家S.M.Ulam 的自传《一个数学家的遭遇》(Advantures of a mathematician) ”中读到。该书294页上写道: “杨振宁，诺贝尔物理学奖获得者，讲了一个有关现时数学家和物理家间不同思考方式的故事: 一天晚上，一帮人来到一个小镇。他们有许多衣服要洗，于是满街找洗衣房。突然他们见到一扇窗户上有标记:'这里是洗衣房’。一个人高声问道: '我们可以把衣服留在这儿让你洗吗?’窗内的老板回答说:'不，我们不洗衣服。’来人又问道:'你们窗户上不是写着是洗衣房吗’。老板又回答说: '我们是做洗衣房标记的，不洗衣服’。这很有点像数学家。数学家们只做普遍适合的标记，而物理学家却创造了大量的数学。”
杨振宁教授的故事是一则深刻的寓言。数学圈外的人们对数学家们“只做标记，不洗衣服“的做法是不赞成的。数学家Ulam 在引了杨振宁的“笑话”之后，问道，信息论是工程师C. Shannon创立的，而纯粹数学家为什么不早就建立起来? 他感叹地说:“现今的数学和19世纪的数学完全不同，甚至百分之九十九的数学家不懂物理。然而有许许多多的物理概念，要求数学的灵感，新的数学公式，新的数学观念。”
理论物理的“猜”和数学的“证”
1995年12月，杨振宁先生接到复旦大学校长杨福家的来信，请杨振宁在1996年5月到复旦为“杨武之讲座”做首次演讲。杨武之教授是杨振宁的父亲，又是中国数学前辈，早年任清华大学数学系系主任多年，五十年代后则在复旦大学任教授，所以杨振宁很愉快地接受了邀请。但是他不能像杨福家校长要求的那样做20次演讲，只准备讲三次。顺着这一话题，杨振宁先生又谈了理论物理和数学的一些关系。
杨先生说:“理论物理的工作是'猜’，而数学讲究的是'证’。理论物理的研究工作是提出'猜想’，设想物质世界是怎样的结构，只要言之成理，不管是否符合现实，都可以发表。一旦'猜想’被实验证实，这一猜想就变成真理。如果被实验所否定，发表的论文便一文不值(当然失败是成功之母，那是另一层意思了)。数学就不同，发表的数学论文只要没有错误，总是有价值的。因为那不是猜出来的，而有逻辑的证明。逻辑证明了的结果，总有一定的客观真理性。”
“正因为如此，数学的结果可以讲很长的时间，它的结果以及得出这些结果的过程都是很重要的。高斯给出代数学基本定理的五种证明，每种证明都值得讲。如果让丘成桐从头来讲卡拉比(Calabi) 猜想的证明，他一定会有20讲。但是教我讲'宇称不守恒’是怎么想出来的，我讲不了多少话。因为当时我们的认识就是朝否定宇称守恒的方向想，'猜测’不守恒是对的。根据有一些，但不能肯定。究竟对不对，要靠实验。”
杨先生最后说:“理论物理的工作好多是做无用功，在一个不正确的假定下猜来猜去，文章一大堆，结果全是错的。不像数学，除了个别错的以外，大部分都是对的，可以成立”。
杨先生的这番话，使我想起不久前Quine和Jaffe的一篇文章，发表于Bulletin of AMS，1993年8月号，曾引起相当的轰动。该文的主题是问“猜测数学是否允许存在? ”。其中提到，物理学已经有了分工，理论物理做“猜测”，实验物理做“证明”。但是数学没有这种分工。一个数学家，既要提出猜想，又要同时完成证明。除了希尔伯特那样的大人物可以提出23个问题，其猜想可以成为一篇大文章之外，一般数学家至多在文章末尾提点猜想以增加读者的兴趣，而以纯粹的数学猜想为主体的文章是无处发表的。因此，两位作者建议允许“理论数学”，即“猜测数学”的存在。
这样一来，现在有两种相互对立的看法。一方面，物理学界中像杨振宁先生那样，觉得理论物理的研究太自由，胡乱猜测皆成文章，认为数学还比较好的。另一方面，数学界如Quine和Jaffe那样，觉得目前数学研究要求每个结论都必需证明的要求，太束缚人的思想。应该允许人们大胆地猜测，允许有根据而未经完全确认的数学结论发表出来。二者孰是孰非，看来需要一个平衡。许多问题涉及哲学和社会学层面，就不是三言两语可以解决的了。
复数、四元数的物理意义
虚数i=p−1 的出现可溯源于15世纪时求解三次方程，但到18世纪的欧拉时代，仍称之为“想象的数”(imaginary)。数学界正式接受它要到19世纪，经Cauchy、Gauss、Riemann、Weierstrass 的努力，以漂亮的复变量函数论赢得历史地位。至于在物理学领域，一直认为能够测量的物理量只是实数，复数是没有现实意义的。尽管在19世纪，电工学中大量使用复数，有复数的动势，复值的电流，但那只是为了计算的方便。没有复数，也能算出来，只不过麻烦一些而已。计算的最后结果也总是实数，并没有承认在现实中有真有“复数”形态的电流。鉴于此，杨振宁先生说，直到本世纪初，情况仍没有多少改变。一个例证是创立量子电动力学的薛定谔(Schrodinger)。1926年初，据考证，他似乎已经得到现在我们熟悉的方程
其中含有虚数单位i，是复函数，但最后总是取实部。薛定谔因其中含虚数而对(1) 不满意，力图找出不含复数的基本方程。于是他将上式两面求导后化简，得到了一个没有虚数的复杂的高阶微分方程
1926年的6月6日，薛定谔在给洛兰兹的一封长信中，认为这一不含复数的方程(2) “可能是一个普遍的波动方程。”这时，薛定谔正在为消除复数而努力。但是，到了同年的6月23日，薛定谔领悟到这是不行的。在论文[5]中，他第一次提出: “是时空的复函数，并满足复时变方程(1)。”并把(1) 称谓真正的波动方程。其内在原因是，描写量子行为的波函数，不仅有振幅大小，还有相位，二者相互联系构成整体，所以量子力学方程非用复数不可。另一个例子是H.Weyl在1918年发展的规范理论，被拒绝接受，也是因为没有考虑相因子，只在实数范围内处理问题。后来由Fock和London用加入虚数i 的量子力学加以修改，Weyl 的理论才又重新复活。数学传播21卷2期牛顿力学中的量全都是实数量，但到量子力学，就必须使用复数量。杨振宁和米尔斯在1954年提出非交换规范场论，正是注意到了这一点，才会把Weyl规范理论中的相因子推广到李群中的元素，完成了一项历史性的变革。1959年，Aharanov和Bohm设计一个实验，表明向量势和数量势一样，在量子力学中都是可以测量的，打破了“可测的物理量必须是实数”的框框。这一实验相当困难，最后由日本的Tanomura及其同事于1982和1986先后完成。这样，物理学中的可测量终于扩展到了复数。
令我惊异的是，杨振宁教授预言，下一个目标将是四元数进入物理学。
自从1843年爱尔兰物理学家和数学家Hamiton 发现四元数之后，他本人曾花了后半辈子试图把四元数系统，像复数系统那样地广泛运用于数学和物理学，开创四元数的世纪。但结果是令人失望的。人们曾评论这是“爱尔兰的悲剧”。
时至今日，一个大学数学系的毕业生可能根本不知道有四元数这回事，最多也不过是非交换代数的一个例子而已。我还记起，1986年春，钱学森在致中国数学会理事长王元的一封信中，曾建议多学计算器知识，而把研究“四元数解析”(复变函数论的推广) 的工作贬为“像上一个世纪”东西。总之，我和许多数学工作者一样，认为四元数发现，只不过是“抽象的数学产物”，不会有什么大用处的。
杨振宁向我解释了他的想法: 物理学离不开对称。除了几何对称之外，还有代数对称。试看四元数a+bi+cj+dk，其基本单位满足i^2 = j^2 = k^2 = −1，而ij = k, jk =i , ki = j ; ij = −ji , jk = −kj , ki =−ik 。像这种对称的性质在物理学中经常可以碰到。问题是这种四元数的对称还没有真正用于物理现象，而且物理现象中的一些对称也还没有找到基本的数学源由。
最近，丘成桐等人的文章说:“我在1977年发表的一篇文章—Condition of Self-duality for SU(2) gauge fields on Euclidean fourdimensionalspace，曾推动代数几何中稳定丛的解析处理的理论。我还没有问过数学家，不知道这是怎么一回事。许多工作，包括运用四元数表示的物理理论，也许会在这种交流中逐步浮现的”。
杨振宁先生又说，至于将复变函数论形式地推广到四元数解析理论，由于四元数乘积的非交换性，导数无法唯一确定，所以不会有什么好结果出来。现在也有物理学家写成著作，用四元数来描写现有的物理定律，就没有引起什么注意。将来要用四元数表达的物理定律，一定会是一组非线性微分方程组，其解的对称性必需用四元数来表示。所以，杨先生相信:“爱尔兰的悲剧是会变成喜剧的”。
“双叶”比喻
数学和物理学的关系，应该是十分密切的。在数学系以外的课程中，物理系开设的数学课最多最深。“物理学公理化，数学化”，曾是一个时期许多大学问家追逐的目标。
不过，擅长使用数学于物理的杨振宁教授却认二者间的差别很大。他有一个生动的“双叶”比喻，来说明数学和物理学之间的关系（如下图）。他认为数学和物理学像一对“对生”的树叶，他们只在基部有很小的公共部分，多数部分则是相互分离的。
杨振宁先生解释说: “它们有各自不同的目标和价值判断准则，也有不同的传统。在它们的基础概念部分，令人吃惊地分享着若干共同的概念，即使如此，每个学科仍旧按着自身的脉络在发展。”