2021大庆市中考第26题，函数图像结合正方形及相似，真是烧脑

如图, 一次函数y=kx+b的图像与y轴的正半轴交于点A, 与反比例函数y=4/x的图像交于P, D两点, 以AD为边作正方形ABCD, 点B落在x轴的负半轴上, 已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1:4.

(1)求一次函数y=kx+b的表达式;

(2)求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长.

分析：(1)一般来说，第一小题都是送分题，但这道题偏不，第一小题都挺烧脑的。一般的想法是利用正方形的性质，求边长，通过列方程，结合面积的比例关系，求得点的坐标，就可以求出一次函数的表达式。真这样做，估计得累死。那到底应该是什么思路呢？

就是根据面积比，且它们有公共底，得到高的比，就是A点和D点的纵坐标比。再利用两个相似的关系，推导出k值。然后设D点坐标，根据比例关系求A点坐标与D点坐标的关系，再利用斜率公式，求得D点坐标，从而得到b值。具体过程如下：

解：(1)过D作DE⊥x轴于E, 记D(d,4/d),AD交x轴正半轴于点F, （这是准备工作，都是为了下面解题过程描述的方便）

∵S△BOD:S△AOB=1:4, ∴DE/AO=1/4; （有公共底的两个三角形，面积比等于高比）

由△AOB∽△FOA, 有-k=AO/OF=AB/AF=AD/AF, （这个相似关系是由“直角三角形的高将直角三角形分成两个相似的直角三角形”得到的，其中AO/OF就是一次函数的比例系数的绝对值。由于一次函数过二四象限，所以要取相反数）

∵DE//AO, ∴DF/AF=DE/AO=1/4,（这是平行线截取线段成比例的基本事实）

∴k= -AD/AF= -3/4.（这是基本的线段比例运算，不过很多同学不懂。其实就是把AF看作4，DE是1，那么AD自然就是AF-DE=3了，因此有这个比例关系）

又b=OA=4DE=16/d,（承接上面的平行线基本事实，也是A形相似对应边的比例关系）

∴k=(16/d-4/d)/(-d)=-12/d^2=-3/4,

解得d=±4(舍去负值),

∴b=4.

一次函数的表达式为：y= -3x/4+4.

分析：(2)第二小题如果用不到合理的方法，更繁琐，你要是想求C点的坐标，那得兜好大一个圈。其实三角形CPD是一个直角三角形，它的斜边就是外接圆的直径，这一点是关键。因此只要求斜边PC的长就可以了。先运用两点距离公式，再运用勾股定理，很容易搞定。方法用得正确，解起来也不难。

解：(2)当-3x/4+4=4/x时, 有-3x^2+16x-16=0,(这是要求一次函数与反比例函数图像的交点)

由x+4=16/3, 得x=4/3，（利用了一元二次方程根与系数的关系，两根和等于-b/a, 其中待求的根x就是P的横坐标）

∴P(4/3, 3).

DP=根号[(4-4/3)^2+(1-3)^2]=10/3.

CD=AD=根号[4^2+(1-4)^2]=5.（以上运用了两点的距离公式）

在Rt△CPD中, CP=根号(DP^2+CD^2)=3分之5倍根号13. （勾股定理求斜边，就是圆的直径）

∴△CPD外接圆半径为6分之5倍根号13.