二次函数背景下常常会出现45°，这个45°有可能是题目的背景，也有可能是由于在直角三角形背景下的横纵坐标相同而“诞生”的，解决此类问题，往往构造等腰直角三角形，利用45°角特有的性质，进而得到边之间的数量关系；或者是构造相似三角形，利用相似三角形中比例线段的性质或锐角三角比的性质进行转换，进而得到边、角的数量关系。
解法分析：本题是常规的锐角三角比的求法。可以通过过点B或过点A作高，但是可以发现∠B=45°，因此通过过点A作BC边上的高，构造出等腰直角三角形，求得相应的边的长度，得到∠ACB的正切值.
解法分析：本题的(1)问围绕着平移前后a不变，代入A、B坐标后得到解析式；本题的(2)问利用∠ABC=45°，构造等腰直角三角形，利用面积法求出相应的高，继而求出∠CAD的正弦值；问题的(3)问围绕菱形的各边相等，抓住较小内角为45°，构造等腰直角三角形求出点Q坐标.
解法分析：本题的(1)问通过过点B作x轴的垂线得到A点坐标，继而代入求得抛物线的表达式；本题的第(2)问通过角之间的关系转化，得到BM//x轴，得到M的坐标，联立PM和AB所在直线求出点P的坐标；本题的第(3)问通过构造直角三角形，利用锐角三角比，利用面积的数量关系，继而得到MN和CN的数量关系.
解法分析：本题的关键是发现∠DAB=∠AOB=45°，则通过延长AD交BO于E，构造△ABE∽△AOB，得到E点坐标，根据AE解析式及x=2，得到点D坐标.
解法分析：本题的关键是发现∠BPD=∠PAD，构造共边共角型相似三角形：△PBD∽△PBA，得到P点坐标.
解法分析：本题的关键是利用∠ACB=∠DCE及相关的45°角构造相似三角形，本题有3种不同的方法进行辅助线的添加。解法1和解法2构造相似三角形，解法3利用角平分线分线段成比例定理添加辅助线.
解法分析：本题的(1)问就是简单的求二次函数解析式；本题的(2)问在于发现∠OBA=∠BPQ=45°，继而得到△BOP∽△BQP，得到PQ的长度；本题的(3)问是等腰三角形的存在性分类讨论，抓住BPQ=45°进行分类讨论。
解法分析：本题的关键是要发现三个45°角，继而构造一线三等角模型.
解法分析：本题的关键是根据阅读材料的背景，得到△CEF是等腰直角三角形，继而通过构造一线三等角模型得到点E的坐标.
对于二次函数背景下的45°问题，根据条件和结论的意图构造等腰直角三角形或相似三角形，扣住45°角的特殊性，选择合适的方法进行解决。
